20、量子力学中的谐振子与角动量问题解析

量子力学中的谐振子与角动量问题解析

1. 谐振子问题

1.1 问题概述

谐振子问题包含一系列证明和计算，涉及哈密顿算符、产生和湮灭算符、态矢量、能量和位置的期望值等多个方面。以下是部分关键问题的介绍：
1. 算符对易关系证明 ：证明如([\hat{H}, \hat{a}] = -\hbar\omega\hat{a})和([\hat{H}, \hat{a}^{\dagger}] = \hbar\omega\hat{a}^{\dagger})等对易关系。
2. 态矢量与时间关系 ：已知(t = 0)时粒子在谐振子势中的态矢量(|\Psi (x, 0)\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}|1\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}|2\rangle)，求(|\Psi (x, t)\rangle)、能量期望值(\langle E(t)\rangle)和位置期望值(\langle x(t)\rangle)。
3. 矩阵元计算 ：计算(\langle m|\hat{x}^n|n\rangle)（(n = 1, 2, 3, 4)）等矩阵元。
4. 相干态相关证明 ：证明如时间相关的薛定谔相干态(|z (t)\rangle)是湮灭算符(\hat{a})的本征态等。

1.2 部分问题解答示例

1.2.1 证明([\hat{H}, \hat{a}] = -\hbar\omega\hat{a})

根据对易关系的定义([A, B