15、量子力学中的数学形式体系

量子力学中的数学形式体系

量子力学是现代物理学的重要支柱之一，它描述了微观世界的物理现象。在量子力学的发展历程中，出现了多种描述体系，其中薛定谔的量子力学依赖于求解微分方程来描述系统的物理性质，但也存在一些量无法通过微分方程描述，因此需要其他方法。海森堡同时期发展了基于矩阵代数的数学形式体系，狄拉克则用线性向量空间统一了这两种方法。下面我们就来详细探讨量子力学中的这些数学形式。

抽象向量空间

三维笛卡尔欧几里得空间是抽象向量空间的一个特殊情况。在欧几里得空间中，任何三维向量 $\alpha$ 都可以写成其分量的和：
$\alpha = \alpha_x\hat{\imath} + \alpha_y \hat{\jmath} + \alpha_z \hat{k}$
其中单位向量 $\hat{\imath}$、$\hat{\jmath}$、$\hat{k}$ 分别指向 $x$、$y$ 和 $z$ 方向。这些单位向量构成了一个正交归一基组（但不是唯一的），因为 $e_n·e_m = \delta_{nm}$（$e_n$ 和 $e_m$ 代表 $\hat{\imath}$、$\hat{\jmath}$ 和 $\hat{k}$ 中的任意一个）。它们可以张成整个空间，即空间中的任何向量都可以写成它们的线性组合。向量 $\alpha$ 的分量可以通过以下方式得到：
$\alpha_x = \alpha · \hat{\imath}$
$\alpha_y = \alpha · \hat{\jmath}$
$\alpha_z = \alpha · \hat{k}$
点积（标量积）是内积的一个特殊情况，内积适用于任何向量空间。如果两个向量（无论是欧几里得向量还是其他向