量子力学核心问题解析

1、给定势垒V(x) = {V0 > 0 （-L < x < L），0 （其他情况）。入射量子客体由一个从左向右传播的平面波描述。确定透射系数和反射系数。

通过令
$$ \gamma = \begin{cases}
\kappa & (E < V_0) \
ik’ & (E > V_0)
\end{cases}
$$
其中
$$ \kappa^2 = \frac{2m}{\hbar^2}(V_0 - E), \quad k’^2 = \frac{2m}{\hbar^2}(E - V_0) $$

不同区域的解为
$$
\begin{aligned}
\phi_1 &= Ae^{ikx} + Be^{-ikx}, \
\phi_2 &= Ce^{\gamma x} + De^{-\gamma x}, \
\phi_3 &= Fe^{ikx} + Ge^{-ikx},
\end{aligned}
$$
其中
$$ k^2 = \frac{2m}{\hbar^2}E $$

可得
$$
\begin{aligned}
B &= \frac{\gamma}{2ik - \gamma}A, \
C &= \frac{2ik}{2ik - \gamma}A,
\end{aligned}
$$
透射系数
$$ T = \frac{4k^2}{4k^2 + \gamma^2}, $$
反射系数
$$ R = \frac{\gamma^2}{4k^2 + \gamma^2}. $$

2、形如 tan kd = -k/κ （其中 κ = √(κ_V² - k²) 且 k < κ_V ）的超越方程，求当 d 很大时的近似解。

1. 首先对等式进行变形：
   $$
   \tan(kd) = -\frac{k}{\sqrt{\kappa_V^2 - k^2}} = -\tan\left(\arctan\left(\frac{k}{\sqrt{\kappa_V^2 - k^2}}\right)\right) = -\tan\left(\arcsin\left(\frac{k}{\kappa_V}\right)\right)
   $$

2. 然后得出：
   $$
   kd + \arcsin\left(\frac{k}{\kappa_V}\right) = n\pi
   $$
   其中 $ n = 1, 2, \ldots $。

3、证明角动量 $\mathbf{l}$ 的各分量是厄米的。

已知

$$
l_x = \frac{\hbar}{i}\left(y\frac{\partial}{\partial z}-z\frac{\partial}{\partial y}\right) = yp_z - zp_y
$$

等式右边是两个对易的厄米算符的乘积，所以 $ l_x $ 是厄米的。同理可证角动量 $ \mathbf{l} $ 的另外两个分量也是厄米的。

4、考虑轨道角动量 (l = 1)。将算符 (e^{-i\alpha L_z / \hbar}) 表示为无表象的并矢积之和。已知基矢组一为 (|1, 1\rangle\sim\begin{pmatrix}1\0\0\end{pmatrix})；(|1, 0\rangle\sim\begin{pmatrix}0\1\0\end{pmatrix})；(|1, -1\rangle\sim\begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix}) ，基矢组二为 (|1, 1\rangle\sim\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\i\0\end{pmatrix})；(|1, 0\rangle\sim\begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix})；(|1, -1\rangle\sim\mp\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\-i\0\end{pmatrix}) ，针对这两组基矢进行具体说明。

首先，

$$
e^{-i\alpha L_z / \hbar} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-i\alpha)^n}{n!} \left( \frac{L_z}{\hbar} \right)^n.
$$

已知

$$
L_z = \hbar \left[ |1, 1\rangle\langle1, 1| - |1, -1\rangle\langle1, -1| \right],
$$

可得

$$
\left( \frac{L_z}{\hbar} \right)^2 = |1, 1\rangle\langle1, 1| + |1, -1\rangle\langle1, -1|,
\quad
\left( \frac{L_z}{\hbar} \right)^3 = \frac{L_z}{\hbar}.
$$

由于

$$
e^{-i\alpha L_z / \hbar} = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-i\alpha)^{2n}}{(2n)!} \left( \frac{L_z}{\hbar} \right)^{2n} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-i\alpha)^{2n + 1}}{(2n + 1)!} \left( \frac{L_z}{\hbar} \right)^{2n + 1},
$$

最终得到

$$
e^{-i\alpha L_z / \hbar} = 1 + \left( \frac{L_z}{\hbar} \right)^2 (\cos\alpha - 1) - i \left( \frac{L_z}{\hbar} \right) \sin\alpha = |1, 1\rangle\langle1, 1| e^{-i\alpha} + |1, 0\rangle\langle1, 0| + |1, -1\rangle\langle1, -1| e^{i\alpha}.
$$

对于基矢组一，

$$
e^{-i\alpha L_z / \hbar} \sim \begin{pmatrix}
e^{-i\alpha} & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & e^{i\alpha}
\end{pmatrix};
$$

对于基矢组二，

$$
e^{-i\alpha L_z / \hbar} \sim \begin{pmatrix}
\cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \
\sin\alpha & \cos\alpha & 0 \
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

5、明确证明算符ˆn的本征值为非负。

由于$\hat{n}$是厄米算符，其