3、非线性控制原理与H无穷控制方法解析

非线性控制原理与H无穷控制方法解析

1. 最优控制的稳定性条件

在最优控制中，线性最优控制回路的稳定性与系统的可稳定化特性密切相关。对于线性系统 $\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)$（其中 $x\in R^n$，$u\in R^m$），若能选择控制输入 $u(t)$ 使所有闭环极点稳定，则该系统是可稳定化的。可稳定化比可控性更具一般性，意味着系统的部分极点可通过状态反馈置于左半复平面，而其余无法通过反馈重新定位的极点本身就在左半复平面。

以下定理给出了最优线性二次控制方案闭环全局稳定的条件：
假设 $C$ 是矩阵 $Q$ 的 $n×n$ 平方根（$Q$ 是二次成本函数中的权重矩阵），即 $C^TC = Q$。再假设矩阵对 $(A, B)$ 是可稳定化的，矩阵对 $(A, C)$ 是可观测的。则有：
- 存在微分Riccati方程（1.19）的唯一对称正定稳态解 $P$，且该解不依赖于终值条件 $P(t_f)$。
- 上述矩阵 $P$ 也是代数Riccati方程（1.21）的唯一解。
- 闭环系统是全局渐近稳定的。

根据该定理，最优线性二次控制回路的稳定性取决于开环系统的结构（由矩阵 $A$ 和 $B$ 定义）以及二次成本函数中作为设计参数的权重矩阵 $Q$ 的结构。矩阵对 $(A, B)$ 的可稳定化确保通过状态反馈，闭环系统的所有极点最终都能位于左半复平面；矩阵对 $(A, \sqrt{Q})$ 的可观测性意味着系统的所有状态变量最终都会出现在待最小化的成本函数 $J$ 中。闭环系统的极点以及最优控制回路的瞬态特性由矩阵 $Q\geq0$ 和 $R > 0$ 的选择决定。

2. H无穷非线性