28、球板动力系统的非线性控制：H无穷控制方法解析

球板动力系统的非线性控制：H无穷控制方法解析

1. 球板系统概述

球板系统由一块可绕其纵向和横向对称轴旋转的板以及一个可在板表面滚动的球组成。该系统的控制问题具有挑战性，因为它是强非线性的，具有多变量状态空间形式，且是欠驱动的（有四个自由度，但仅接收两个控制输入）。球板系统是球梁系统的二维扩展，也是通过滚动接触进行操作的典型示例。其主要目标是通过改变板的倾斜度来控制球的位置。

球板系统是用于测试非线性控制算法性能和效率的基准非线性系统。常见的控制方案可分为两类：
- 基于模型的控制方法 ：包括滑模控制、反步控制、线性二次调节器，以及基于Lyapunov理论、李代数和微分平坦理论的控制方法。
- 无模型控制方法 ：主要是估计方法或神经模糊控制。

2. H无穷控制方法

本文采用之前分析过的非线性最优（H无穷）控制方法来控制球板系统。具体步骤如下：
1. 近似线性化 ：球板系统的动态模型在临时操作点（$x^ $，$u^ $）附近进行近似线性化，其中$x^ $是系统状态向量的当前值，$u^ $是控制输入向量的最后采样值。线性化基于一阶泰勒级数展开和系统状态空间模型的雅可比矩阵计算。
2. 控制器设计 ：对于近似线性化的球板系统模型，设计一个稳定的H无穷反馈控制器。该控制器解决了球板系统的非线性最优控制问题，它代表了一个最小 - 最大微分博弈，控制输入试图最小化包含状态向量跟踪误差二次项的成本函数，而模型不确定性和外生扰动输入则试图最