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最新推荐文章于 2025-07-07 21:48:52 发布

stdforces

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CC 4.0 BY-SA版权

文章标签： c++ 算法数据结构

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/stdforces/article/details/127455162

题意：

给出如下排序长度为 $l e n$ 的数组代码：

for(int i=1;i<=len;i++)
    for(int j=1;j<=len;j++)
        if(a[i]<a[j]) swap(a[i],a[j]);

给出一个长 $n$ 的数组 $a$ ，求排序 $[1, k]$ 区间的交换次数， $k = 1, 2, ...., i$

Solution：

显然我们需要模拟一便这个排序，不妨直接写一个这个程序，输出。

发现排序长度为 $l e n$ 时，有如下性质，第 $i$ 次会把最大值交换到 $i$ 处，且在第一次之后，由于从从前往后交换，最大值目前位于 $i - 1$ 处，于是这一次发生的交换次数为 $[1, i - 1]$ 大于 $a [i]$ 的数的种数，因为相等的元素不交换。这个是可以用树状数组维护的，但这样的时间复杂度是 $O(n^2)$ 的，不妨考虑一下相邻两个前缀有什么关系，下面考虑两个前缀 $[1, i - 1]$ 和 $[1, i]$ 的关系，并且叫第一次暴力处理时发生交换的位置为 $p_{1},p_{2},...,p_{m}]$ ，最后的结果的 $p_{i}$ 的会到 $p_{i+1}$ 去， $p_{m}$ 会到 $p_{1}$ 去，暴力处理之后的每一次都是把最大值交换到 $i$ 就不发生交换了，不难发现 $p_{1},p_{2},...,p_{m}]$ 这些位置就是前缀最大值的变化点，于是发生变化一定在此处，即 $a [i] > ma x (a [1], a [2], ..., a [i - 1])$ 时，这样比较复杂，不妨按照这样的思路，先考虑：

$a [i] < ma x (a [1], a [2], ..., a [i - 1])$ 时：

此时最大值已经在 $[1, i - 1]$ 被找出来了，所以我们只需要在最大值在 $i - 1$ 时把最大值移到 $i$ 即可，即

$an s [i] = an s [i - 1] + co u n t (a [i] + 1, n)$

其中 $co u n t (x, y)$ 是 $[1, i - 1]$ 中有多少数是 $∈[x,y]\in[x,y]$ 的，这个可以用树状数组同时维护

当 $a [i] = ma x (a [1], a [2], ..., a [i - 1])$ 时，最大值都不需要移到 $i$ ，于是：

$an s [i] = an s [i - 1]$

最后再来考虑 $a [i] > ma x (a [1], a [2], ..., a [i - 1])$ 时

由于 $[1, i - 1]$ 的最大值不为 $a [i]$ ，但是还是存在一个最大值，替 $a [i]$ 完成了交换工作，只需要在第一次暴力处理的时候把 $a [i]$ 交换到1，就完成了把最大值更新为 $a [i]$ 的工作，又最大值此时要从 $i - 1$ 被交换到 $i$ 处，这两个工作需要2的交换次数。并且由于修改最大值，之前的最大值有多个的情况下互相不会计数，而现在他们都需要和现在的最大值计数了，并且最大值第二次出现的位置pos之后的区间 $[p os, i - 1]$ 每个数都要与新最大值交换，于是此时有

$$
ans[i]=ans[i-1]+f[max(1,i-1)]*(i-1-second[max(1,i-1)]+1)+2

这个思维难度有点大。。

// #include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<set>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define endl '\n'
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=100005,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3f3f3f3f3f3f,mod=998244353;

int a[N],tot[N];
ll n,ans[N],tree[N];
bool vis[N];

inline int lowbit(int x){return -x&x;}

void add(int x,int val)
{
	if(vis[x]) return;
	vis[x]=true;
	while(x<=n)
	{
		tree[x]+=val;
		x+=lowbit(x);
	}
}

ll getsum(int x)
{
	ll ret=0;
	while(x)
	{
		ret+=tree[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return ret;
}

int first[N],second[N];
ll query(int l,int r){return getsum(r)-getsum(l-1);}

void work()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
		tree[i]=vis[i]=tot[i]=first[i]=second[i]=0;
	}
	int max1=a[1];
	add(a[1],1); first[a[1]]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(a[i]==max1) ans[i]=ans[i-1];
		else if(a[i]<max1) ans[i]=ans[i-1]+query(a[i]+1,n);
		else ans[i]=ans[i-1]+(second[max1]!=0)*(i-second[max1])+2;
		add(a[i],1); max1=max(max1,a[i]);
		if(!first[a[i]]) first[a[i]]=i;
		else if(!second[a[i]]) second[a[i]]=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cout<<ans[i];
		if(i<n) cout<<" ";
		add(a[i],-1); 
	}
	cout<<endl;
}	

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	int t; cin>>t;
	while(t--) work(); 
	return 0;
}