2022河南省赛 F 构造_你有补2022河南省赛f题吗-优快云博客

该博客探讨了如何构造集合A，使得A+A的元素个数等于给定的奇数n，并分析了集合元素的奇偶性构造。通过等差数列和数列差值的不同组合，得出不同情况下的集合大小和元素范围。对于偶数n的情况，提出了通过调整数列首项来改变和的奇偶性的方法。博客还特别指出n=2和n=4时无解，并给出了C++代码实现。

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题意：

定义集合运算 $S=A+B={x+y∣x∈A,y∈B}S=A+B=\{x+y|x\in A,y\in B\}$ ， $∣ S ∣$ 为集合 $S$ 的大小，构造一个集合 $A$ ，使得 $∣ A + A ∣ = n$ ，并且使 $x∈Ax\in A$ 有 $x∈[0,5×105]x\in[0,5\times 10^5]$

Solution:

没有想法就打表，首先打表简单的数列 $[1, 2, 3, .....]$ ，若数列长度为 $m$ ，那么 $∣ A + A ∣ = 2 m - 1$ ，恰好这包含了所有奇数的情况。

接着考虑，是不是所有数列都是这样呢，好像并不是，等差数列存在很多对树相加相等，这是算少了，我们造一个两两差值不同的，再来考虑，比如 $[1, 3, 6, 10, 15]$ ，这样的情况是15，即每一对都是一种情况，于是，给出长 $m$ 的数列，他们的和的种类应该是 $∈[2m−1,Cm2=m(m+1)2]\in[2m-1,C_{m}^{2}=\frac{m(m+1)}{2}]$ 的。同时我们考虑偶数怎么构造，如果我们能做到减1，那么就完成了奇偶交换，再来考虑这个等差数列的例子 $[1, 2, 3, ...., m]$ ，他们的和的种类即 $[2, 3, ....., 2 m]$ ，最值只能被一种情况表示！即 $2 = 1 + 1$ ， $2 m = m + m$ ，没有其他情况了，于是我们考虑增加或删去一个最值，把1换成0，那么和的情况为 $[0, 2, 3, 4, ..., 2 m]$ ，刚好增加一种，这是偶数的构造方法

然后还有 $n = 2, 4$ 的情况是无解的。。上面那个种数的范围，带入 $n = 2, 4$ ，解不等式是无解的

#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<set>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<ctime>
#define endl '\n'
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=1000005,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3f3f3f3f3f3f,mod=998244353;

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	int n; cin>>n;
	if(n==2||n==4)
	{
		cout<<-1;
		return 0;
	}
	if(n&1)
	{
		cout<<(n+1)/2<<endl;
		for(int i=1;i<=(n+1)/2;i++) cout<<i<<" ";
	}	
	else
	{
		cout<<n/2<<endl;
		cout<<0<<" ";
		for(int i=2;i<=n/2;i++) cout<<i<<" ";
	}
	return 0;
}