牛客P15428 约数个数定理，暴力枚举，贪心剪枝

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原创最新推荐文章于 2026-11-08 21:05:35 发布 528 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

5个4000比特大状态置换算法的设计与分析下面是 5 个概念性、实验性的 4000 位可逆置换设计。它们都保证是双射，但未经过密码分析，不可直接用于生产系统。风格分别覆盖：三维 SPN、Feistel、可逆元胞自动机、ARX、宽轨迹/Keccak 式结构。这 5 个设计分别代表了 SPN、Feistel、元胞自动机、ARX、宽轨迹 Keccak 五种不同风格，覆盖了主流大状态置换的构造思路。再次强调：它们只是实验性概念，若要用于实际协议，必须经过严格安全性分析。阅读详情

题意：

给出 $n$ ，求出
$m a x (d (1), d (2), . . ., d (n))$

Solution：

由约数个数定理，只需要枚举质因数 $p_{i}$ 和他的幂次 $a_{i}$ ，使得乘积 $≤n\leq n$ 即可，此时约数个数即
$a_{1}+1)(a_{2}+1)...(a_{n}+1)$
dfs枚举即可，不过需要剪枝

从小到大枚举素数，如果两个素数 $p, q$ 满足 $p < q$ ，我们分配给 $q$ 有 $k$ 次幂，不如让 $p$ 多 $k$ 次幂，这样可以使得原数更大，因为两数之积尽量相同积会大些，并且此时乘积也会小一些，能分配更多幂给其他的素数，所以一个优化是分配给当前素数的幂不超过上一个素数的幂
当上一次分配的幂是 $0$ 是，接下来就不分配了，直接返回

只要有上述两个剪枝，就算筛出 $10^7$ 次方之内的素数来枚举都不会改变复杂度

// #include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<map>
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=1e7+5,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3fffffffffffffff,mod=1e9+7;

ll cnt,prime[N];
bitset<N>nt;

void make_prime()
{
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!nt[i]) prime[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<N;j++)
        {
            nt[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

ll dfs(int x,ll now,ll ans,ll last)
{
    if(x==cnt+1||last==0) return ans;
    ll tmp=now,tot=0,ret=-INF;
    while(tmp&&tot<=last)
    {
        ret=max(ret,dfs(x+1,tmp,ans*(tot+1),tot));
        tmp/=prime[x]; tot++;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    #ifdef stdjudge
        freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
    make_prime();
    int t; cin>>t;
    while(t--)
    {
        ll n; cin>>n;
        cout<<dfs(1,n,1,INF)<<'\n';
    }
    return 0;
}