牛客P15428 约数个数定理，暴力枚举，贪心剪枝

题意：

给出$n$，求出
$$max(d(1),d(2),...,d(n))$$

Solution：

由约数个数定理，只需要枚举质因数$p_i$和他的幂次$a_i$，使得乘积$\le n$即可，此时约数个数即
$$(a_1+1)(a_2+1)...(a_n+1)$$
dfs枚举即可，不过需要剪枝

• 从小到大枚举素数，如果两个素数$p,q$满足$p<q$，我们分配给$q$有$k$次幂，不如让$p$多$k$次幂，这样可以使得原数更大，因为两数之积尽量相同积会大些，并且此时乘积也会小一些，能分配更多幂给其他的素数，所以一个优化是分配给当前素数的幂不超过上一个素数的幂

• 当上一次分配的幂是$0$是，接下来就不分配了，直接返回

只要有上述两个剪枝，就算筛出$10^7$次方之内的素数来枚举都不会改变复杂度

// #include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<map>
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=1e7+5,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3fffffffffffffff,mod=1e9+7;

ll cnt,prime[N];
bitset<N>nt;

void make_prime()
{
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!nt[i]) prime[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<N;j++)
        {
            nt[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

ll dfs(int x,ll now,ll ans,ll last)
{
    if(x==cnt+1||last==0) return ans;
    ll tmp=now,tot=0,ret=-INF;
    while(tmp&&tot<=last)
    {
        ret=max(ret,dfs(x+1,tmp,ans*(tot+1),tot));
        tmp/=prime[x]; tot++;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    #ifdef stdjudge
        freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
    make_prime();
    int t; cin>>t;
    while(t--)
    {
        ll n; cin>>n;
        cout<<dfs(1,n,1,INF)<<'\n';
    }
    return 0;
}