洛谷P1939 矩阵快速幂模板

最新推荐文章于 2025-11-25 00:06:26 发布

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#算法

本文介绍了一种利用矩阵快速幂技巧来高效求解线性递推式an=an-1+an-3的解法，通过构造特定矩阵并进行幂运算，简化了递推问题的求解过程。

矩阵快速幂解线性递推式：

$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-3}$

Solution：

一般构造矩阵的时候都构造一个连续的矩阵，且这个矩阵元素下标都 $+ 1$ 后两个矩阵恰好覆盖了递推式所涉及的所有项，设递推式跨越的下标长度为 $l e n$ ，这个长度一般是 $l e n - 1$ ，譬如当前构造矩阵
$a_{n},a_{n-1},a_{n-2}]$
我们需要构造出一个矩阵，使得这个上式矩阵乘构造矩阵后得到
$a_{n+1},a_{n},a_{n-1}]$

矩阵乘法：

对于两个矩阵 $a, b$ 相乘，结果矩阵的 $i$ 行 $j$ 列为
$\sum_{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}$
即 $a$ 的 $i$ 行与 $b$ 的 $j$ 列的所有元素对应相乘相加

单位矩阵：

是主对角线元素为 $1$ ，其余元素为 $0$ 的矩阵，即满足下式的矩阵
$a_{i,j}=\begin{cases} 0 & i\neq j\\ 1 & i=j \end{cases}$

根据矩阵乘法的规则构造矩阵为
$\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} \right]$
对此矩阵快速幂即可

需要注意的是，单位矩阵是主对角线元素为 $1$ 的矩阵，其他元素为 $0$ ；而不是都是 $1$ 的矩阵

// #include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<map>
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=1e6+5,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3fffffffffffffff,mod=1e9+7;

struct matrix
{
    ll a[3][3];
    void initial(){memset(a,0,sizeof(a));}
    void build()
    {
        initial();
        for(int i=0;i<3;i++) a[i][i]=1;
    }
    ll* operator[](int i) const {
        return (ll*)&a[i][0];
    }
    matrix operator*(const matrix& x) const
    {
        matrix ret; ret.initial();
        for(int i=0;i<3;i++)
            for(int j=0;j<3;j++)
                for(int k=0;k<3;k++) ret[i][j]=(ret[i][j]+a[i][k]*x[k][j]%mod)%mod;
        return ret;
    }
};

matrix qpow(matrix a,ll b)
{
    matrix ret,base=a; ret.build();
    while(b)
    {
        if(b&1) ret=ret*base;
        base=base*base;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    matrix tmp={{
        {1,1,0},
        {0,0,1},
        {1,0,0}
    }},ans={{
        {1,1,1},
        {0,0,0},
        {0,0,0}
    }};
    int t; cin>>t;
    while(t--)
    {
        ll n; cin>>n;
        if(n<=3) cout<<1<<'\n';
        else cout<<(ans*qpow(tmp,n-3)).a[0][0]<<'\n';
    }
    return 0;  
}