10、格约化算法的概率分析

格约化算法的概率分析

1. s - Siegel约化基与主要参数

在格约化算法中，存在一些重要的条件和参数。对于任意的 (i)（(1 \leq i \leq p - 1)），满足以下条件：
[
\begin{cases}
| \tilde{m} {i + 1, i} | \leq \frac{1}{2} \
t^2 (\tilde{m} {i + 1, i}^2 \tilde{\ell} i^2 + \tilde{\ell} {i + 1}^2) \geq \tilde{\ell} i^2
\end{cases}
]
这些条件暗示了 s - Siegel条件，其中 (\tilde{r}_i := \frac{\tilde{\ell} {i + 1}}{\tilde{\ell}_i} \geq \frac{1}{s})，(s^2 = \frac{4t^2}{4 - t^2})，当 (t = 1) 时，(s = \frac{2}{\sqrt{3}})。满足这些条件的基被称为 s - Siegel约化基。

描述算法行为的参数主要分为两类：输出参数和执行参数。
- 输出参数 ：用于描述输出基的几何性质，主要有三个参数：
- Hermite缺陷 (\eta(B) := \frac{|\tilde{\mathbf{b}} 1|^2}{(\det L)^{2/p}} \leq s^{p - 1})
- 长度缺陷 (\delta(B) := \frac{|\tilde{\mathbf{b}}_1|}{\l