7、格算法中的筛法、约化与不等式

格算法中的筛法、约化与不等式

在格算法领域，有许多重要的算法和不等式，它们在解决格相关问题中发挥着关键作用。本文将介绍筛法算法、HKZ 约化、Mordell 不等式以及块约化等重要内容。

筛法算法

在 2001 年，Ajtai 等人发现了一种随机算法（AKS 算法），它在渐近意义上比 Kannan 的确定性超指数算法要好得多。AKS 算法以压倒性的概率在 $2^{O(d)}$ 多项式时间操作内输出格 $L$ 的最短向量。

算法原理

考虑一个以原点为中心、半径为 $r$ 的球 $S$，其中 $\lambda_1(L) \leq r \leq O(\lambda_1(L))$，此时 $|L \cap S| = 2^{O(d)}$。如果能对 $L \cap S$ 进行穷举搜索，就可以在 $2^{O(d)}$ 多项式时间操作内输出最短向量。但枚举算法在搜索 $L \cap S$ 时，还需要遍历 $\bigcup_{1\leq k\leq d}\Pi_k(L) \cap S$ 中的所有点。对于 HKZ 约化基，在最坏情况下 $\sum_{k = 1}^{d}|\Pi_k(L) \cap S| = 2^{O(d \log d)}$，这也是 Kannan 算法的最坏情况复杂度。

筛法算法的主要思想是对 $L \cap S$ 进行随机采样，而不遍历更大的集合 $\bigcup_{1\leq k\leq d}\Pi_k(L) \cap S$。如果采样使得 $L \cap S$ 中的每个点以大约 $|L \cap S|^{-1}$ 的概率被输出，并且 $N \gg |L \cap S|$，那么 $N$ 个样本中就有接近 1 的概率包含最短向量。不过，目前尚