16、格基约化算法的概率分析与LLL算法进展

格基约化算法的概率分析与LLL算法进展

1. 均值分析与开放问题

当令 ((r + 1)M = M^{\alpha} \to 1)（其中 (0 < \alpha < 1)）时，均值满足以下关系：
- (E_{(r,M)}[C] \approx E[c]\frac{1}{h(E)}M^{1 - \alpha})
- (E_{(r,M)}[D] \approx - E[\ell]\frac{1}{h(E)}\frac{1}{\log 2}M^{2 - 2\alpha})
- (E_{(r,M)}[B] \approx E[\ell]\frac{1}{h(E)}M^{2 - \alpha})

若 ((r + 1)M = \Theta(1))，则有：
- (E_{(r,M)}[C] = \Theta(M))
- (E_{(r,M)}[D] = \Theta(M^2))
- (E_{(r,M)}[B] = \Theta(M^2))

目前存在一个开放问题：精确描述赋值 (r \to -1) 时高斯算法和欧几里得算法之间比特复杂度行为的相变，确定 (\Theta) 项中隐藏的常数与 ((r + 1)M) 的函数关系。

2. LLL算法的概率分析初步

LLL算法旨在将所有局部基 (U_k) 按照高斯意义进行约化。为了得到算法结束时的输出密度，描述算法执行过程中局部基分布的演变是很有意义的。ODDEVEN变体（奇偶算法）非常适合用于此目的。

• 奇数阶段 ：LLL算法首先处理奇数索引的局部基。考虑两个连续的基 (U_