8、格约化算法的概率分析与滑动算法解析

格约化算法的概率分析与滑动算法解析

引言

格约化算法在密码学、计算数论和整数规划等多个领域都有重要应用。然而，其一般行为目前还远未被完全理解。本文将介绍两种相关内容，一是滑动算法（Slide Algorithm）的原理和复杂度分析，二是格约化算法的概率分析方法，包括专用建模、概率方法和动力系统方法。

滑动算法

滑动算法是一种用于块 - 莫德尔（block - Mordell）约化格基的多项式时间算法，使用了维度不超过 $k$ 的最短向量问题（SVP）预言机。

算法输入与输出

• 输入 ：格 $L$ 的一个基 $(b_1, \cdots, b_d)$，约化因子 $\epsilon > 0$，以及能整除 $d$ 的块大小 $k \geq 2$。
• 输出 ：基 $(b_1, \cdots, b_d)$ 是具有因子 $\epsilon$ 和块大小 $k$ 的块 - 莫德尔约化基。

算法步骤

1: 使用算法 6 对 $(b_1, \cdots, b_d)$ 进行 LLL 约化。
2: 如果存在 $j \in \{1, \cdots, d\}$ 使得 $j \equiv 1 \pmod{k}$ 且 $j$ 不满足 (2.44)，则
3:     使用维度 $\leq k$ 的 SVP 预言机对块 $B[j, j + k - 1]$ 进行局部 HKZ 约化，使得 (2.44) 成立；然后返回步骤 1。块 $B[