8、协变一阶微分演算的结构定理与量子胚映射

协变一阶微分演算的结构定理与量子胚映射

1. 结构定理概述

在研究协变一阶微分演算（FODC）时，结构定理起着关键作用。我们主要关注左协变、右协变和双协变的 FODC，这些定理揭示了它们与霍普夫代数（Hopf algebra）中右理想的紧密联系。

1.1 左协变 FODC 的结构定理

设 $A$ 为霍普夫代数，若 $R \subseteq \text{Ker }\epsilon$ 是 $A$ 中的右理想，定义 $N_R := A \otimes R \subseteq A \otimes \text{Ker }\epsilon = U_L$，通常简记为 $N$。则 $N$ 是 $U_L$ 的 $A$-子双模，且 FODC $(\Omega_{L,N}, d_{L,N})$ 是左协变的。此外，任何关于 $A$ 的左协变 FODC 都同构于某个 $(\Omega_{L,N}, d_{L,N})$，其中 $N = N_R$，$R \subseteq \text{Ker }\epsilon$ 是 $A$ 中的右理想。

这里，$\Omega_{L,N} = \frac{U_L}{A \otimes R} = A \otimes \frac{\text{ker }\epsilon}{R}$，最后一个等式源于 $A \otimes \cdot$ 是右正合函子。

1.2 右协变 FODC 的结构定理

设 $A$ 为霍普夫代数，若 $R \subseteq \text{Ker }\epsilon$ 是 $A$ 中的右理想，定义 $M_R := R \otimes A$，通常记为 $M$。则 $M$ 是 $U_R$ 的子双模，且 F