14、非交换微积分中的重要公式与结构研究

非交换微积分中的重要公式与结构研究

1. 毛雷尔 - 嘉当公式

1.1 公式陈述与证明

在非交换微积分的研究中，毛雷尔 - 嘉当公式是一个重要的恒等式。对于所有 (a \in A)，有 (d(\delta(a)) = -\delta(\delta(a_{(1)})) \delta(a_{(2)}))。

证明过程如下：
首先，量子胚映射 (\delta: A \to \text{inv}\Omega) 的定义为 (\delta(a) = \varepsilon(a_{(1)})d(a_{(2)}))。那么 (\delta(a_{(1)}) \delta(a_{(2)}) = \varepsilon(a_{(11)})d(a_{(12)})\varepsilon(a_{(21)})d(a_{(22)}))。
利用莱布尼茨法则，(d(a_{(12)})\varepsilon(a_{(21)}) = d(\varepsilon(a_{(12)})\varepsilon(a_{(21)})) - a_{(12)}d\varepsilon(a_{(21)}))。
通过余结合性，(a_{(11)} \otimes a_{(12)} \otimes a_{(21)} \otimes a_{(22)} = a_{(1)} \otimes a_{(211)} \otimes a_{(212)} \otimes a_{(22)})，所以 (d(\varepsilon(a_{(12)})\varepsilon(a_{(21)})) = d(\varepsilon(a_{(211)})\varepsilon(a_{(212)})) = d(\varepsilon(a_{(