4、霍普夫代数的一阶微分学：协变性与实例解析

霍普夫代数的一阶微分学：协变性与实例解析

1. 右协变一阶微分演算（FODC）

首先，我们来了解右协变FODC的定义。设((\Omega, d))是霍普夫代数(A)上的一个FODC，(\Delta)表示(A)的余乘法。对于任意元素(a_k, b_k \in A)（(k = 1, \cdots, K)），若满足(\sum_{k} a_k db_k = 0)能推出(\sum_{k} \Delta(a_k)(d \otimes id)\Delta(b_k) = 0 \in A \otimes \Omega)，则称((\Omega, d))是右协变FODC。

下面是与之相关的定理：
设((\Omega, d))是霍普夫代数(A)上的右协变FODC，则存在唯一的线性映射(\hat{\Omega} : \Omega \to \Omega \otimes A)，定义为(\hat{\Omega}(\omega) = \sum_{k} \Delta(a_k)(d \otimes id)\Delta(b_k))，其中(\omega = \sum_{k} a_k db_k)是(\omega)的任意标准表示。该映射满足以下性质：
1. (\hat{\Omega})是(A) - 双模同态，即对于所有(c \in A)和所有(\omega \in \Omega)，有(\hat{\Omega}(c\omega) = \Delta(c) \hat{\Omega}(\omega))和(\hat{\Omega}(\omega c) = \hat{\Omega}(\omega)\Delta(c))。
2. (\hat{\Omega})赋予(\Omega)右(A) - 余模结构，这等价于类似于某些图的交换性。