9、量子左不变向量场与协变一阶微分演算

量子左不变向量场与协变一阶微分演算

1. 量子胚映射的另类定义

量子胚映射将元素 (a) 映射到其微分的左不变投影。我们可以将量子胚映射 (\Phi) 定义为 (\Phi := \Phi_{inv} d)。强调这个另类定义，有助于我们深入理解量子胚映射的性质，也能帮助我们更好地理解相关文献中反复使用但未命名的算子 (Pd)（这里 (P = \Phi_{inv})）。

2. 量子左不变向量场的定义

设 (\Omega) 是与右理想 (R \subseteq \ker \epsilon) 相关联的左不变一阶微分演算（FODC），则 (\Omega) 的量子左不变向量场空间 (X) 定义为：
[X := {X : A \to \mathbb{C} \mid X \text{ 是线性的，且 } R \oplus \mathbb{C}1_A \subseteq \ker X}]
(X) 中的元素称为量子左不变向量场，常缩写为量子 LIVF。当左不变性在上下文中明确时，也可简称为量子向量场。显然，(X) 是一个复向量空间。

在这种定义量子向量场 (X) 的方法中，并没有明显要求 (X) 是一个导数或某种“量子”导数的推广。这里的结构依赖于左不变 FODC (\Omega) 的选择，其目的是构建一个与左不变 1 - 形式空间 (inv\Omega) 对偶的量子向量场空间。

3. 定义的动机

考虑一个 (n) 维李群 (G)，取 (G) 上的局部坐标图，使单位元 (e \in G) 对应于 (\mathbb{R}^n) 中的 (0)。对于任何光滑函数 (f : G \to \mathbb{R})，在局部坐标下