2、一阶微分演算：理论与实例

一阶微分演算：理论与实例

1 基本理论

1.1 一阶微分演算的定义

设 (A) 是带有单位元 (1\in A) 的代数，(\varOmega) 是 (A) 上的双模（即 (A) 同时作用于 (\varOmega) 的左右两侧，且满足 (a(\omega b)=(a\omega)b) 对所有 (a,b\in A) 和 (\omega\in\varOmega) 成立，同时 (1\omega = \omega1=\omega) ），(d:A\to\varOmega) 是线性映射。若 ((\varOmega,d)) 满足以下两个性质，则称其为 (A) 上的一阶微分演算（FODC）：
- 莱布尼茨法则 ：对于所有 (a,b\in A)，有 (d(ab)=(da)b + a(db))。
- 标准形式 ：(\varOmega) 中的每个元素 (\omega) 都可以表示为 (\omega=\sum_{k = 1}^{K}a_k(db_k))，其中 (a_k,b_k\in A)，(K) 为正整数。

我们称映射 (d) 为 FODC 的微分。双模 (\varOmega = {0}) 可以唯一地构成 (A) 上的 FODC，称为平凡 FODC。

这里的莱布尼茨法则是精确的，而不是某种广义或变形的形式。标准形式等价于说 (d) 的值域 (Ran d) 作为左 (A) - 模在代数上生成 (\varOmega)，即 (\varOmega) 足够大以容纳 (d) 的值域，但不会更大。

莱布尼茨法则使用了 (\varOmega) 的双模结构，而标准形式只使用了左模结构，