16、量子主丛中的平移映射与一阶微分算子性质扩展

量子主丛中的平移映射与一阶微分算子性质扩展

1. 量子主丛基础定义与相关映射

首先，我们从量子主丛（QPB）的一些基础定义开始。考虑(P = (B, A, B\hat{}))，其中(A)是带有单位元的(\ast) - Hopf代数，(B = W \otimes A)，这里(W)是任意带有单位元的(\ast) - 代数。(B)具有通常的乘法和(\ast) - 运算。同时，定义(B\hat{} := id_W \otimes \Delta : W \otimes A \to W \otimes A \otimes A)。

有几个相关的练习值得关注：
- 练习12.3 ：验证上述定义能构成一个QPB，并确定其在基空间上“函数”的(\ast) - 代数(V)，思考它是否总是等于(W)。
- 练习12.4 ：已知右作用(P \times G \to P)（记为((p, g) \mapsto pg)）可定义左作用(G \times P \to P)（记为((g, p) \mapsto gp)，其中(gp := pg^{-1})）。类似地，右余作用(B\hat{} : B \to B \otimes A)可定义(\hat{B} : B \to A \otimes B)，即(\hat{B} := S^{-1}(b_{(1)}) \otimes b_{(0)})，其中(B\hat{}(b) = b_{(0)} \otimes b_{(1)})。需要说明(\hat{B})定义的动机，证明它是左余作用，并探讨若在(\hat{B})定义中用(S)代替(S^{-1})会发生什么。

2. 平移映射