3、霍普夫代数的一阶微分演算解读

霍普夫代数的一阶微分演算解读

1. 前置知识回顾

在探讨霍普夫代数的一阶微分演算之前，先回顾一些相关概念。对于选择 $p = qx$ 的情况，我们有 $\partial p = D_q$，其中对于所有 $f \in A = \mathbb{C}[x]$，$D_q$ 定义为：
[
(D_qf)(x) := \frac{f(qx) - f(x)}{qx - x}
]
这就是著名的 $q$-导数算子，也称为导数的 $q$-变形。当 $q$ 为 $\mathbb{C}[x]$ 中的任意多项式，包括 $q \equiv 1$ 的情况时，需要进一步探讨其性质。

另一种情况，当 $p = x + c$（$c \in \mathbb{C}$ 且 $c \neq 0$）时，有：
[
\partial_p x^n = \sum_{j = 0}^{n - 1} p^j x^{n - 1 - j} = \sum_{j = 0}^{n - 1} (x + c)^j x^{n - 1 - j}
]
并且当 $c \to 0$（即 $p = x + c \to x$）时，算子 $\Delta_c$ 趋于标准导数，满足标准的莱布尼茨法则。

2. 霍普夫代数相关定义

假设 $A$ 是一个霍普夫代数，其余乘法记为 $\Delta: A \to A \otimes A$，余逆（也称为对极）记为 $\epsilon: A \to A$。在很多文献中，$\Delta$ 也记为 $\delta$，$\epsilon$ 记为 $S$。

由于 $A$ 是一个代数，因此可以讨论其上的一阶微分演算（FODC）