18、垂直代数：量子主丛中的关键结构

垂直代数：量子主丛中的关键结构

1. 基础理论与关键引理

在非交换情形下，我们研究量子主丛（QPB）相关的垂直代数。首先有一些重要的引理和结论为后续的研究奠定基础。

对于给定的量子主丛 (P=(B, A, B\hat{})) 以及其上的双协变 (\star -) 一阶微分演算（(\star -)FODC）(\Omega) ，有如下关键内容：
- 引理 12.1 推论 ：设 (\omega\in\Omega^n(P)) 是一个齐次元素，那么存在两个有限元素族（每个族有 (m) 个元素），即 (b_1,\cdots,b_m\in B) 和 (\epsilon_1,\cdots,\epsilon_m\in\mathrm{inv}\Omega^{\wedge n}) ，满足 ((\mathrm{id}\otimes p_n)\Omega(P)\hat{\omega}=\sum_{j = 1}^{m}B\hat{b}_j\epsilon_j)。证明过程中，由于 (\Omega(P)\hat{\omega}) 是保度映射，对于所有 (l > n) 有 ((\mathrm{id}\otimes p_l)\Omega(P)\hat{\omega}=0) ，再根据引理 12.1 即可得到该结论。

2. 垂直代数的定义

我们将未分级的代数 (B) 视为分级代数，除了在分级 0 处等于 (B) 外，其他分级处均为 0。然后定义垂直代数 (v(P)\equiv\mathrm{ver}(P):=B\otimes\mathrm{inv}\Omega^{\wedge}) 作为一个分级向量空间。这里，(\mathrm{inv}\Ome