线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章 矩阵代数 2.3 可逆矩阵的特征(1)

2.3

[!CAUTION]

定理 8（可逆矩阵定理）

设 $A$ 为 $n\times n$ 矩阵，则下列命题是等价的，即对某一特定的 $A$，它们同时为真或同时为假.

1. $A$ 是可逆矩阵.
2. $A$ 行等价于 $n\times n$ 单位矩阵.
3. $A$ 有 $n$ 个主元位置.
4. 方程 $Ax=0$ 仅有平凡解.
5. $A$ 的各列线性无关.
6. 线性变换 $x\mapsto Ax$ 是一对一的.
7. 对 ${\mathbb{R}}^n$ 中任意 $b$，方程 $Ax=b$ 至少有一个解.
8. $A$ 的各列生成 ${\mathbb{R}}^n$.
9. 线性变换 $x\mapsto Ax$ 把 ${\mathbb{R}}^n$ 映上到 ${\mathbb{R}}^n$.
10. 存在 $n\times n$ 矩阵 $C$ 使 $CA=I$.
11. 存在 $n\times n$ 矩阵 $D$ 使 $AD=I$.
12. $A^T$ 是可逆矩阵.

[!CAUTION]

线性变换 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 称为可逆的，若存在函数 $S:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 使得

对所有 ${\mathbb{R}}^n$ 中的 $x$，$S(T(x))=x(1)$

对所有 ${\mathbb{R}}^n$ 中的 $x$，$T(S(x)) = x\space (2) $

定理 9 设 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 为线性变换，$A$ 为 $T$ 的标准矩阵。则 $T$ 可逆当且仅当 $A$ 是可逆矩阵，这时由 $S(x)=A^{-1}x$ 定义的线性变换 $S$ 是满足 $(1)$ 和 $(2)$ 的唯一函数。

练习题

1. 确定 $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 2& 3& 4\\ 2& 3& 4\end{array}\right]$ 是否可逆.

解答：

1. 观察矩阵 $A$ 的列向量：
   ${\mathbf{a}}_1=\left[\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right]$, ${\mathbf{a}}_2=\left[\begin{array}{c}3\\ 3\\ 3\end{array}\right]$, ${\mathbf{a}}_3=\left[\begin{array}{c}4\\ 4\\ 4\end{array}\right]$。
2. 发现 ${\mathbf{a}}_2=\frac{3}{2}{\mathbf{a}}_1$ 且 ${\mathbf{a}}_3=2{\mathbf{a}}_1$，说明列向量组线性相关。
3. 由可逆矩阵定理，列向量线性相关时矩阵不可逆。

结论：
$A$ 不可逆。

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2. 设对某个 $n\times n$ 矩阵 $A$，可逆矩阵定理命题 (g) 不成立. 那么形如 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的方程会如何？

解答：

1. 可逆矩阵定理中命题 (g) 通常表述为：“对 ${\mathbb{R}}^n$ 中的每个 $\mathbf{b}$，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有唯一解”。
2. 若命题 (g) 不成立，则存在至少一个 $\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^n$ 使得 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 无解（即方程组不相容）。

结论：
存在至少一个 $\mathbf{b}$ 使得 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 不相容。

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3. 设 $A,B$ 是 $n\times n$ 矩阵，方程 $AB\mathbf{x}=0$ 有非平凡解，那么矩阵 $AB$ 会如何？

解答：

1. 假设 $AB$ 可逆，根据可逆矩阵定理命题 (d)，方程 $AB\mathbf{x}=0$ 仅有平凡解 $\mathbf{x}=0$。
2. 但题目已知 $AB\mathbf{x}=0$ 有非平凡解，与假设矛盾。
3. 因此 $AB$ 不可逆。

结论：
$AB$ 不可逆。

习题2.3

1. 确定 $\left[\begin{array}{cc}5& 7\\ -3& -6\end{array}\right]$ 是否为可逆矩阵.

解答：

1. 观察列向量：${\mathbf{a}}_1=\left[\begin{array}{c}5\\ -3\end{array}\right]$, ${\mathbf{a}}_2=\left[\begin{array}{c}7\\ -6\end{array}\right]$，二者非标量倍数关系。
2. 由可逆矩阵定理 (e)，列向量线性无关等价于矩阵可逆。
3. 验证行列式：$\det (A)=5\times (-6)-7\times (-3)=-30+21=-9\ne 0$，符合定理条件。

结论：
矩阵可逆。

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2. 确定 $\left[\begin{array}{cc}-4& 6\\ 6& -9\end{array}\right]$ 是否为可逆矩阵.

解答：

1. 观察列向量：${\mathbf{a}}_2=\left[\begin{array}{c}6\\ -9\end{array}\right]=-\frac{3}{2}{\mathbf{a}}_1$（其中 ${\mathbf{a}}_1=\left[\begin{array}{c}-4\\ 6\end{array}\right]$），列向量线性相关。
2. 计算行列式：$\det (A)=(-4)\times (-9)-6\times 6=36-36=0$。
3. 由可逆矩阵定理，行列式为零时矩阵不可逆。

结论：
矩阵不可逆。

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3. 确定 $\left[\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ -3& -7& 0\\ 8& 5& -1\end{array}\right]$ 是否为可逆矩阵.

解答：

1. 矩阵为下三角形式，主对角线元素 $5,-7,-1$ 均非零。
2. 行简化至行阶梯形后，有 $3$ 个主元位置（无需具体计算，因对角元非零）。
3. 由可逆矩阵定理 ©，主元位置数等于矩阵阶数时矩阵可逆。

结论：
矩阵可逆。

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4. 确定 $\left[\begin{array}{ccc}-7& 0& 4\\ 3& 0& -1\\ 2& 0& 9\end{array}\right]$ 是否为可逆矩阵.

解答：

1. 第二列全为零：${\mathbf{a}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$。
2. 列向量组包含零向量，故线性相关。
3. 由可逆矩阵定理 (e)，列向量线性相关时矩阵不可逆。

结论：
矩阵不可逆。

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5. 确定 $\left[\begin{array}{ccc}0& 3& -5\\ 1& 0& 2\\ -4& -9& 7\end{array}\right]$ 是否为可逆矩阵.

解答：

1. 行简化过程：
   • 交换 $R_1$ 与 $R_2$：$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 3& -5\\ -4& -9& 7\end{array}\right]$
   • $R_3\leftarrow R_3+4R_1$：$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 3& -5\\ 0& -9& 15\end{array}\right]$
   • $R_3\leftarrow R_3+3R_2$：$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 3& -5\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$
2. 行阶梯形含零行，无 $3$ 个主元位置。
3. 由可逆矩阵定理，矩阵不与单位矩阵行等价，故不可逆。

结论：
矩阵不可逆。

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6. 确定 $\left[\begin{array}{ccc}1& -5& -4\\ 0& 3& 4\\ -3& 6& 0\end{array}\right]$ 是否为可逆矩阵.

解答：

1. 行简化过程：
   • $R_3\leftarrow R_3+3R_1$：$\left[\begin{array}{ccc}1& -5& -4\\ 0& 3& 4\\ 0& -9& -12\end{array}\right]$
   • $R_3\leftarrow R_3+3R_2$：$\left[\begin{array}{ccc}1& -5& -4\\ 0& 3& 4\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$
2. 行阶梯形含零行，主元位置数 $<3$。
3. 由可逆矩阵定理，矩阵不与单位矩阵行等价，故不可逆。

结论：
矩阵不可逆。

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7. 确定 $\left[\begin{array}{cccc}-1& -3& 0& 1\\ 3& 5& 8& -3\\ -2& -6& 3& 2\\ 0& -1& 2& 1\end{array}\right]$ 是否为可逆矩阵.

解答：

1. 行简化过程：
   • $R_2\leftarrow R_2+3R_1$，$R_3\leftarrow R_3-2R_1$：
     $\left[\begin{array}{cccc}-1& -3& 0& 1\\ 0& -4& 8& 0\\ 0& 0& 3& 0\\ 0& -1& 2& 1\end{array}\right]$
   • $R_4\leftarrow R_4-\frac{1}{4}{R}_2$：$\left[\begin{array}{cccc}-1& -3& 0& 1\\ 0& -4& 8& 0\\ 0& 0& 3& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$
   • 继续标准化后，行阶梯形含 $4$ 个主元位置（验证：无零行）。
2. 由可逆矩阵定理 ©，主元位置数等于矩阵阶数时矩阵可逆。

结论：
矩阵可逆。

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8. 确定 $\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 7& 4\\ 0& 5& 9& 6\\ 0& 0& 2& 8\\ 0& 0& 0& 10\end{array}\right]$ 是否为可逆矩阵.

解答：

1. 矩阵为上三角形式，主对角线元素 $1,5,2,10$ 均非零。
2. 行阶梯形中主元位置数为 $4$（等于矩阵阶数）。
3. 由可逆矩阵定理 ©，主元位置数等于阶数时矩阵可逆。

结论：
矩阵可逆。

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11a. 若方程 $A\mathbf{x}=0$ 仅有平凡解，则 $A$ 行等价于 $n\times n$ 单位矩阵.

解答：

1. 由可逆矩阵定理（IMT），若 $A\mathbf{x}=0$ 仅有平凡解，则 $A$ 可逆。
2. 可逆矩阵的行阶梯形必为单位矩阵，因此 $A$ 行等价于 $n\times n$ 单位矩阵。
3. 该蕴涵式符合 IMT 中命题 (d) 与 (b) 的逻辑关系。

结论：
命题为真。

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11b. 若 $A$ 的各列生成 ${\mathbb{R}}^n$，则它的列线性无关.

解答：

1. $A$ 的各列生成 ${\mathbb{R}}^n$ 意味着 $A$ 行满秩（即秩为 $n$）。
2. 对 $n\times n$ 矩阵，行满秩等价于列满秩，故列向量组线性无关。
3. 由 IMT 命题 (h) 与 (e) 的等价性，该蕴涵式成立。

结论：
命题为真。

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11c. 若 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，则对 ${\mathbb{R}}^n$ 中每个 $\mathbf{b}$，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 至少有一个解.

解答：

1. 该命题要求 $A$ 对任意 $\mathbf{b}$ 相容，但仅当 $A$ 可逆时成立。
2. 若 $A$ 不可逆（如 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$），取 $\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$，则方程无解。
3. 由 IMT，命题 (g) 仅对可逆矩阵成立，故该蕴涵式不恒真。

结论：
命题为假。

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11d. 若方程 $A\mathbf{x}=0$ 有非平凡解，则 $A$ 的主元位置少于 $n$ 个.

解答：

1. $A\mathbf{x}=0$ 有非平凡解表明零空间维数 $\ge 1$。
2. 由秩-零化度定理，$\text{rank}(A)=n-\dim (\text{Nul}(A))<n$。
3. 主元位置数等于秩，故主元位置数 $<n$。

结论：
命题为真。

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11e. 若 $A^T$ 不可逆，则 $A$ 也不可逆.

解答：

1. $A$ 可逆当且仅当 $A^T$ 可逆（因 $\det (A)=\det (A^T)$）。
2. 若 $A^T$ 不可逆，则 $\det (A^T)=0$，故 $\det (A)=0$，$A$ 不可逆。
3. 由 IMT 逻辑链，该蕴涵式恒成立。

结论：
命题为真。

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12a. 若存在 $n\times n$ 矩阵 $D$ 使得 $AD=I$，那么也存在 $n\times n$ 矩阵 $C$，使得 $CA=I$.

解答：

1. $AD=I$ 表明 $A$ 有右逆，对 $n\times n$ 矩阵，右逆存在即 $A$ 可逆。
2. 可逆矩阵的左逆与右逆相等，故存在 $C=D$ 满足 $CA=I$。
3. 由 IMT 命题 (k) 与 (j) 的等价性，该蕴涵式成立。

[!NOTE]

k. 存在 $n\times n$ 矩阵 $C$ 使 $CA=I$.

j. 存在 $n\times n$ 矩阵 $D$ 使 $AD=I$.

结论：
命题为真。

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12b. 若 $A$ 的各列线性无关，则 $A$ 的各列生成 ${\mathbb{R}}^n$.

解答：

1. 列线性无关表明 $\text{rank}(A)=n$（列满秩）。
2. 对 $n\times n$ 矩阵，列满秩等价于列空间为 ${\mathbb{R}}^n$。
3. 由 IMT 命题 (e) 与 (h) 的等价性，该蕴涵式成立。

结论：
命题为真。

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12c. 若对每个 ${\mathbb{R}}^n$ 中的 $\mathbf{b}$，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 至少有一个解，则对每个 $\mathbf{b}$，解是唯一的.

解答：

1. 对任意 $\mathbf{b}$ 有解表明 $A$ 行满秩（秩为 $n$）。
2. 秩为 $n$ 时，零空间仅含零向量，故解唯一。
3. 由 IMT 命题 (g) 与 (f) 的等价性，该蕴涵式成立。

结论：
命题为真。

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12e. 若存在 ${\mathbb{R}}^n$ 中的 $\mathbf{b}$，使得方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 不相容，则 $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ 不是一对一的.

解答：

1. 不相容表明 $A$ 非满秩，故秩 $<n$。
2. 秩 $<n$ 时零空间非平凡，存在 ${\mathbf{x}}_1\ne {\mathbf{x}}_2$ 使 $A{\mathbf{x}}_1=A{\mathbf{x}}_2$。
3. 由 IMT，不相容蕴含非单射，该蕴涵式恒成立。

结论：
命题为真。

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13. 若一个 $m\times n$ 矩阵的主对角线以下元素全为 0，则称之为上三角矩阵。什么时候一个上三角矩阵是可逆的？

解答：

1. 上三角矩阵可逆需满足行阶梯形有 $n$ 个主元位置（对 $m=n$ 方阵）。
2. 主对角线元素必须全非零：若某对角元为零，则其下方列无主元，导致秩 $<n$。
3. 当 $m\ne n$ 时，上三角矩阵不可逆（因非方阵）；仅当 $m=n$ 且对角元全非零时可逆。

结论：
当且仅当矩阵为方阵且所有主对角线元素非零时，上三角矩阵可逆。

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14. 若一个 $m\times n$ 矩阵的主对角线以上元素全为 0，则称之为下三角矩阵。什么时候一个下三角矩阵是可逆的？

解答：

1. 下三角矩阵可逆需为方阵（$m=n$），否则秩 $\le \min (m,n)<n$。
2. 主对角线元素必须全非零：若某对角元为零，则其上方列无主元，导致秩 $<n$。
3. 例如 $A=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$ 可逆，而 $B=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 0\end{array}\right]$ 不可逆。

结论：
当且仅当矩阵为方阵且所有主对角线元素非零时，下三角矩阵可逆。

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15. 有两列相同的方阵是否可逆？为什么？

解答：

1. 设 $A$ 有两列相同，如 ${\mathbf{a}}_i={\mathbf{a}}_j$（$i\ne j$）。
2. 则 ${\mathbf{a}}_i-{\mathbf{a}}_j=0$，存在非零向量 $\mathbf{x}=(0,\dots ,1,\dots ,-1,\dots ,0{)}^T$ 使 $A\mathbf{x}=0$。
3. 零空间非平凡，故 $A$ 不可逆。

结论：
不可逆，因为列向量线性相关。

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16. 一个 $5\times 5$ 矩阵的各列不生成 ${\mathbb{R}}^5$，它是否可能可逆？为什么？

解答：

1. 各列不生成 ${\mathbb{R}}^5$ 表明列空间 $\ne {\mathbb{R}}^5$，故秩 $<5$。
2. 由可逆矩阵定理，$n\times n$ 矩阵可逆当且仅当秩为 $n$。
3. 秩 $<5$ 时，$A$ 不可逆，且存在 $\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^5$ 使 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 无解。

结论：
不可能可逆，因为列空间维度小于 5。

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17. 若 $n\times n$ 矩阵 $A$ 可逆，则 $A^T$ 的各列线性无关，说明为什么.

解答：

1. $A$ 可逆 $\Rightarrow$ $A^T$ 可逆（因 $\det (A^T)=\det (A)\ne 0$）。
2. 可逆矩阵的列向量组线性无关。
3. $A^T$ 的列即 $A$ 的行，但作为矩阵，$A^T$ 的列线性无关等价于 $A^T$ 可逆。

结论：
$A^T$ 可逆，故其列线性无关。

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18. 若 $C$ 是 $6\times 6$ 矩阵，对 ${\mathbb{R}}^6$ 中的每一 $\mathbf{v}$，方程 $C\mathbf{x}=\mathbf{v}$ 相容，是否可能对某个 $\mathbf{v}$，方程 $C\mathbf{x}=\mathbf{v}$ 有多解？为什么？

解答：

1. 对任意 $\mathbf{v}$ 相容表明 $C$ 行满秩（秩为 6）。
2. 秩为 6 时，零空间维数 $=6-6=0$，故解唯一。
3. 若有多解，则零空间非平凡，与秩为 6 矛盾。

结论：
不可能，因为相容且满秩时解唯一。

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19. 有 $7\times 7$ 矩阵 $D$ 的各列线性无关，关于方程 $D\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解会如何？为什么？

解答：

1. 列线性无关 $\Rightarrow$ $\text{rank}(D)=7$（列满秩）。
2. 对 $7\times 7$ 矩阵，列满秩等价于可逆。
3. 由 IMT，$D\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 对任意 $\mathbf{b}$ 有唯一解。

结论：
对任意 $\mathbf{b}$，方程有唯一解。

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20. 若 $n\times n$ 矩阵 $E$ 和 $F$ 满足性质 $EF=I$，则 $E$ 和 $F$ 是可交换的。说明这是为什么.

解答：

1. $EF=I$ 表明 $E$ 和 $F$ 互为逆矩阵（因 $n\times n$ 矩阵单侧逆即双侧逆）。
2. 逆矩阵唯一，故 $FE=I$。
3. 因此 $EF=I=FE$，即 $E$ 和 $F$ 可交换。

结论：
$EF=FE=I$，故 $E$ 和 $F$ 可交换。