线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章 矩阵代数 2.3 可逆矩阵的特征(2)

定理 8（可逆矩阵定理）

设 $A$ 为 $n\times n$ 矩阵，则下列命题是等价的，即对某一特定的 $A$，它们同时为真或同时为假.

1. $A$ 是可逆矩阵.
2. $A$ 行等价于 $n\times n$ 单位矩阵.
3. $A$ 有 $n$ 个主元位置.
4. 方程 $Ax=0$ 仅有平凡解.
5. $A$ 的各列线性无关.
6. 线性变换 $x\mapsto Ax$ 是一对一的.
7. 对 ${\mathbb{R}}^n$ 中任意 $b$，方程 $Ax=b$ 至少有一个解.
8. $A$ 的各列生成 ${\mathbb{R}}^n$.
9. 线性变换 $x\mapsto Ax$ 把 ${\mathbb{R}}^n$ 映上到 ${\mathbb{R}}^n$.
10. 存在 $n\times n$ 矩阵 $C$ 使 $CA=I$.
11. 存在 $n\times n$ 矩阵 $D$ 使 $AD=I$.
12. $A^T$ 是可逆矩阵.

21. 若方程 $G\mathbf{x}=\mathbf{y}$ 对 ${\mathbb{R}}^n$ 中某个 $\mathbf{y}$ 有多个解，$n\times n$ 矩阵 $G$ 的各列能否生成 ${\mathbb{R}}^n$？为什么？

解答：

1. 方程 $G\mathbf{x}=\mathbf{y}$ 有多个解表明解不唯一，即存在非平凡零空间。
2. 由可逆矩阵定理（IMT），若方程有多个解，则命题 (g) 为假。
3. 命题 (g) 为假意味着命题 (h) 也为假，即矩阵 $G$ 的列不能生成 ${\mathbb{R}}^n$。

结论：
$G$ 的各列不能生成 ${\mathbb{R}}^n$。

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22. 设 $H$ 是 $n\times n$ 矩阵。若方程 $H\mathbf{x}=\mathbf{c}$ 对 ${\mathbb{R}}^n$ 中的某个 $\mathbf{c}$ 不相容，方程 $H\mathbf{x}=0$ 会如何？为什么？

解答：

1. 方程 $H\mathbf{x}=\mathbf{c}$ 不相容表明命题 (g) 为假。
2. 由可逆矩阵定理（IMT），若命题 (g) 为假，则命题 (d) 也为假。
3. 命题 (d) 为假意味着方程 $H\mathbf{x}=0$ 有非平凡解。

结论：
方程 $H\mathbf{x}=0$ 有非平凡解。

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23. 若 $n\times n$ 矩阵 $K$ 不能化简为 $I_n$，$K$ 的列会如何？为什么？

解答：

1. 矩阵 $K$ 不能化简为 $I_n$ 表明命题 (b) 为假。
2. 由可逆矩阵定理（IMT），若命题 (b) 为假，则命题 (e) 和 (h) 也为假。
3. 命题 (e) 为假意味着 $K$ 的列线性相关。
4. 命题 (h) 为假意味着 $K$ 的列不能生成 ${\mathbb{R}}^n$。

结论：
$K$ 的列线性相关且不能生成 ${\mathbb{R}}^n$。

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24. 若 $L$ 是 $n\times n$ 矩阵且方程 $L\mathbf{x}=0$ 有平凡解，$L$ 的各列可以张成 ${\mathbb{R}}^n$ 吗？为什么？

解答：

1. 方程 $L\mathbf{x}=0$ 总是有平凡解，无论 $L$ 是否可逆。
2. 仅知道有平凡解不能得出关于 $L$ 的列的任何结论。
3. 没有关于 $L$ 的其他信息，无法确定其列是否能生成 ${\mathbb{R}}^n$。

结论：
无法确定 $L$ 的各列是否可以张成 ${\mathbb{R}}^n$。

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25. 验证例 1 前面框内的命题。

解答：

1. 假设 $A$ 是方阵且 $AB=I$。
2. 由可逆矩阵定理（IMT），$A$ 可逆。
3. 将 $AB=I$ 两边左乘 $A^{-1}$，得 $A^{-1}AB=A^{-1}I$，即 $B=A^{-1}$。
4. 由第2.2节定理6，$B$（即 $A^{-1}$）可逆，且其逆为 $(A^{-1}{)}^{-1}=A$。

结论：
命题成立。

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26. 说明为什么当 $A$ 的各列线性无关时，$A^2$ 的各列可以生成 ${\mathbb{R}}^n$。

解答：

1. $A$ 的各列线性无关且 $A$ 为方阵，由可逆矩阵定理（IMT），$A$ 可逆。
2. $A^2=A\cdot A$ 是可逆矩阵的乘积，故 $A^2$ 可逆。
3. 由可逆矩阵定理，可逆矩阵的列生成 ${\mathbb{R}}^n$。

结论：
$A^2$ 的各列可以生成 ${\mathbb{R}}^n$。

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27. 设 $A$ 和 $B$ 是 $n\times n$ 矩阵。证明：若 $AB$ 可逆，则 $A$ 也可逆。不能使用定理 6(b)，因为不能假定 $A$ 和 $B$ 是可逆的。（提示：存在一个矩阵 $W$ 使得 $ABW=I$。为什么？）

解答：

1. 设 $W$ 是 $AB$ 的逆，则 $ABW=I$。
2. 重写为 $A(BW)=I$。
3. 由于 $A$ 是方阵，由可逆矩阵定理（IMT）的 (k) 部分，$A$ 可逆。

结论：
若 $AB$ 可逆，则 $A$ 也可逆。

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28. 设 $A$ 和 $B$ 是 $n\times n$ 矩阵。证明：若 $AB$ 可逆，则 $B$ 也可逆。

解答：

1. 设 $W$ 是 $AB$ 的逆，则 $WAB=I$。
2. 重写为 $(WA)B=I$。
3. 由可逆矩阵定理（IMT）的 (j) 部分（应用于 $B$），$B$ 可逆。

结论：
若 $AB$ 可逆，则 $B$ 也可逆。

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29. 若 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 对 ${\mathbb{R}}^n$ 中的某些 $\mathbf{b}$ 有多个解，则变换 $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ 不是一对一的。其他关于这个变换的结论会如何？验证你的答案。

解答：

1. 变换 $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ 不是一对一的，表明可逆矩阵定理（IMT）的命题 (f) 为假。
2. 命题 (f) 为假意味着命题 (i) 也为假，即变换不将 ${\mathbb{R}}^n$ 映射到整个 ${\mathbb{R}}^n$。
3. $A$ 不可逆，故变换 $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ 也不可逆。

结论：
变换 $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ 不是一对一的，不将 ${\mathbb{R}}^n$ 映射到整个 ${\mathbb{R}}^n$，且不可逆。

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30. 若 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，变换 $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ 是一对一的，其他关于这个变换的结论会如何？验证你的答案。

解答：

1. 变换 $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ 是一对一的，表明可逆矩阵定理（IMT）的命题 (f) 为真。
2. 命题 (f) 为真意味着命题 (i) 也为真，即变换将 ${\mathbb{R}}^n$ 映射到整个 ${\mathbb{R}}^n$。
3. $A$ 可逆，故变换 $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ 也可逆。

结论：
变换 $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ 是一对一的，将 ${\mathbb{R}}^n$ 映射到整个 ${\mathbb{R}}^n$，且可逆。

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31. 设 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，对 ${\mathbb{R}}^n$ 中的每个 $\mathbf{b}$，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 至少有一个解，不用定理 5 或 8，说明为什么每个方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 事实上恰好有一个解.

解答：

1. 由于方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 对每个 $\mathbf{b}$ 都有解，矩阵 $A$ 在每一行都有主元（1.4 节定理 4）。
2. 由于 $A$ 是方阵，这表明 $A$ 在每一列都有主元。
3. 方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 中没有自由变量，因此解是唯一的。

结论：
每个方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 恰好有一个解。

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32. 设 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，方程 $A\mathbf{x}=0$ 仅有平凡解. 不用可逆矩阵定理，说明对 ${\mathbb{R}}^n$ 中的每个 $\mathbf{b}$，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 必有一个解.

解答：

1. 若 $A\mathbf{x}=0$ 仅有平凡解，则 $A$ 在每一列都有主元。
2. 由于 $A$ 是方阵，$A$ 的每一行也必须有主元（关键点）。
3. 根据 1.4 节定理 4，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 对 ${\mathbb{R}}^n$ 中的每个 $\mathbf{b}$ 都有解。

结论：
对 ${\mathbb{R}}^n$ 中的每个 $\mathbf{b}$，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 必有一个解。

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33. $T$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 到 ${\mathbb{R}}^2$ 的线性变换，$T(x_1,x_2)=(-5x_1+9x_2,4x_1-7x_2)$，说明 $T$ 可逆并求出 $T^{-1}$.

解答：

1. $T$ 的标准矩阵为 $A=\left[\begin{array}{cc}-5& 9\\ 4& -7\end{array}\right]$。
2. 计算行列式：$\det A=(-5)(-7)-(9)(4)=35-36=-1\ne 0$，故 $A$ 可逆。
3. 由定理 9，$T$ 可逆，$T^{-1}$ 的标准矩阵为 $A^{-1}$。
4. 对于 $2\times 2$ 矩阵，$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}7& 9\\ 4& 5\end{array}\right]$。

结论：
$T^{-1}(x_1,x_2)=(7x_1+9x_2,4x_1+5x_2)$。

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34. $T$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 到 ${\mathbb{R}}^2$ 的线性变换，$T(x_1,x_2)=(6x_1-8x_2,-5x_1+7x_2)$，说明 $T$ 可逆并求出 $T^{-1}$.

解答：

1. $T$ 的标准矩阵为 $A=\left[\begin{array}{cc}6& -8\\ -5& 7\end{array}\right]$。
2. 计算行列式：$\det A=(6)(7)-(-8)(-5)=42-40=2\ne 0$，故 $A$ 可逆。
3. $T^{-1}(\mathbf{x})=B\mathbf{x}$，其中 $B=A^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}7& 8\\ 5& 6\end{array}\right]$。

结论：
$T^{-1}(x_1,x_2)=\left(\frac{7}{2}{x}_1+4x_2,\frac{5}{2}{x}_1+3x_2\right)$。

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35. 设 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 为可逆线性变换，说明为什么 $T$ 既是一对一的又是映上到 ${\mathbb{R}}^n$ 的. 利用方程 (1) 和 (2)，运用一个或多个定理给出第二种解释.

解答：

1. 一对一性：设 $T(\mathbf{u})=T(\mathbf{v})$，则 $S(T(\mathbf{u}))=S(T(\mathbf{v}))$（$S$ 为 $T$ 的逆）。由方程 (1) 得 $\mathbf{u}=S(T(\mathbf{u}))$ 且 $\mathbf{v}=S(T(\mathbf{v}))$，故 $\mathbf{u}=\mathbf{v}$。
2. 满射性：对任意 $\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^n$，令 $\mathbf{x}=S(\mathbf{y})$，则 $T(\mathbf{x})=T(S(\mathbf{y}))=\mathbf{y}$（方程 (2)）。
3. 第二种证明：由定理 9，$T$ 的标准矩阵 $A$ 可逆。根据可逆矩阵定理 (IMT)，$A$ 的列线性无关且生成 ${\mathbb{R}}^n$。由 1.9 节定理 12，$T$ 既是一对一的又映上到 ${\mathbb{R}}^n$。

结论：
$T$ 既是一对一的又是映上到 ${\mathbb{R}}^n$ 的。

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36. 设 $T$ 是将 ${\mathbb{R}}^n$ 映上到 ${\mathbb{R}}^n$ 的线性变换，证明 $T^{-1}$ 存在且它将 ${\mathbb{R}}^n$ 映上到 ${\mathbb{R}}^n$。$T^{-1}$ 是否是一对一的？

解答：

1. 若 $T$ 将 ${\mathbb{R}}^n$ 映上到 ${\mathbb{R}}^n$，则其标准矩阵 $A$ 的列生成 ${\mathbb{R}}^n$（1.9 节定理 12）。
2. 由可逆矩阵定理 (IMT)，$A$ 可逆，故 $T$ 可逆，$A^{-1}$ 为 $T^{-1}$ 的标准矩阵。
3. $A^{-1}$ 也可逆，其列线性无关且生成 ${\mathbb{R}}^n$。
4. 由 1.9 节定理 12，$T^{-1}$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 到 ${\mathbb{R}}^n$ 的一对一映射。

结论：
$T^{-1}$ 存在且将 ${\mathbb{R}}^n$ 映上到 ${\mathbb{R}}^n$，$T^{-1}$ 是一对一的。

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37. 设 $T$ 和 $U$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 到 ${\mathbb{R}}^n$ 的线性变换，对 ${\mathbb{R}}^n$ 中的所有 $\mathbf{x}$，有 $T(U(\mathbf{x}))=\mathbf{x}$。对 ${\mathbb{R}}^n$ 中的所有 $\mathbf{x}$，$U(T(\mathbf{x}))=\mathbf{x}$ 是否成立？为什么？

解答：

1. 设 $A$ 和 $B$ 分别为 $T$ 和 $U$ 的标准矩阵。
2. $AB$ 是映射 $\mathbf{x}\mapsto T(U(\mathbf{x}))$ 的标准矩阵，由假设 $AB=I$。
3. $A$ 和 $B$ 为方阵，由 IMT 可知 $A$ 和 $B$ 可逆，且 $B=A^{-1}$。
4. 因此 $BA=I$，即 $U(T(\mathbf{x}))=\mathbf{x}$ 对所有 $\mathbf{x}$ 成立。

结论：
$U(T(\mathbf{x}))=\mathbf{x}$ 对所有 $\mathbf{x}$ 成立。

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38. 设 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 为线性变换，对 ${\mathbb{R}}^n$ 中一对不同 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$，有 $T(\mathbf{u})=T(\mathbf{v})$。$T$ 能否将 ${\mathbb{R}}^n$ 映上到 ${\mathbb{R}}^n$？为什么？

设 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 是线性变换，其标准矩阵为 $A$，即 $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$。

题目给出：存在 $\mathbf{u}\ne \mathbf{v}$，使得
$$T(\mathbf{u})=T(\mathbf{v})\Rightarrow A\mathbf{u}=A\mathbf{v}\Rightarrow A(\mathbf{u}-\mathbf{v})=0$$

令 $\mathbf{w}=\mathbf{u}-\mathbf{v}$，则 $\mathbf{w}\ne 0$（因为 $\mathbf{u}\ne \mathbf{v}$），但
$$A\mathbf{w}=0$$

这说明：齐次方程 $A\mathbf{x}=0$ 有非零解。

而在线性代数中，我们知道：

对 $n\times n$ 矩阵 $A$，以下等价：

• $A\mathbf{x}=0$ 只有零解
• $A$ 的列向量线性无关
• $A$ 可逆
• $A$ 有 $n$ 个主元
• $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ 是一对一的

因此，存在非零解 $\Rightarrow$ 列向量线性相关。

列线性相关 ⇒ 列空间维度 < $n$ ⇒ 无法张成 ${\mathbb{R}}^n$ ⇒ 不是满射。

所以，这样的 $T$ 不可能将 ${\mathbb{R}}^n$ 映上到 ${\mathbb{R}}^n$。

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39. 设 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 为可逆线性变换，设 $S$ 和 $U$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 到 ${\mathbb{R}}^n$ 的函数，对一切 ${\mathbb{R}}^n$ 中的 $\mathbf{x}$，有 $S(T(\mathbf{x}))=\mathbf{x}$ 和 $U(T(\mathbf{x}))=\mathbf{x}$。证明对 ${\mathbb{R}}^n$ 中一切 $\mathbf{v}$，有 $U(\mathbf{v})=S(\mathbf{v})$。

解答：

1. 对任意 $\mathbf{v}\in {\mathbb{R}}^n$，因 $T$ 是满射，存在 $\mathbf{x}$ 使 $\mathbf{v}=T(\mathbf{x})$。
2. 由假设，$S(\mathbf{v})=S(T(\mathbf{x}))=\mathbf{x}$ 且 $U(\mathbf{v})=U(T(\mathbf{x}))=\mathbf{x}$。
3. 故 $S(\mathbf{v})=U(\mathbf{v})$ 对所有 $\mathbf{v}$ 成立。

结论：
$S$ 和 $U$ 是相同的函数，即 $T$ 有唯一的逆。