线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章 线性代数中的线性方程组 1.9 线性变换的矩阵

1.9

练习

您说得对，我应该按照约定的格式提供完整详细的解答。请允许我重新整理这两道题目：

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1. 设 $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 为一个线性变换，它先作水平剪切变换，将 $e_2$ 映射为 $e_2-0.5e_1$（但 $e_1$ 不变），然后再作关于 $x_2$ 轴的对称变换。假设 $T$ 是线性的，求它的标准矩阵。

解答：

1. 首先，确定剪切变换 $S$ 的标准矩阵：

   • $S(e_1)=e_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$
   • $S(e_2)=e_2-0.5e_1=\left[\begin{array}{c}-0.5\\ 1\end{array}\right]$
   • 所以 $S$ 的标准矩阵为 $A_S=\left[\begin{array}{cc}1& -0.5\\ 0& 1\end{array}\right]$

2. 其次，确定关于 $x_2$ 轴的对称变换 $R$ 的标准矩阵：

   • $R(e_1)=-e_1=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right]$
   • $R(e_2)=e_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$
   • 所以 $R$ 的标准矩阵为 $A_R=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

3. 复合变换 $T=R\circ S$ 的标准矩阵是矩阵乘积 $A_R\cdot A_S$：
   $$A_T=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& -0.5\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0.5\\ 0& 1\end{array}\right]$$

结论：
$T$ 的标准矩阵为 $\left[\begin{array}{cc}-1& 0.5\\ 0& 1\end{array}\right]$

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2. 若 $A$ 是有 5 个主元的 $7\times 5$ 矩阵。设 $T(x)=Ax$ 是一个 ${\mathbb{R}}^5$ 到 ${\mathbb{R}}^7$ 的线性变换，$T$ 是一个一对一线性变换吗？是映上到 ${\mathbb{R}}^7$ 吗？

解答：

1. 关于一对一性（单射）：

   • $A$ 是 $7\times 5$ 矩阵，有 5 个主元，等于列数
   • 每列都有主元，说明列向量线性无关
   • 由线性变换的性质，当且仅当 $A$ 的列线性无关时，$T$ 是一对一的
   • 因此 $T$ 是一对一的线性变换

2. 关于满射性（映上）：

   • $A$ 有 7 行，但只有 5 个主元
   • 要使 $T$ 映上到 ${\mathbb{R}}^7$，$A$ 必须有 7 个主元（每行一个）
   • 由于主元数 5 < 7，$A$ 的列不能生成整个 ${\mathbb{R}}^7$
   • 由线性变换的性质，当且仅当 $A$ 的列生成 ${\mathbb{R}}^7$ 时，$T$ 是满射
   • 因此 $T$ 不是映上到 ${\mathbb{R}}^7$ 的变换

结论：
$T$ 是一对一的线性变换，但不是映上到 ${\mathbb{R}}^7$ 的变换。

习题1.9

1. $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^4$，$T(e_1)=(3,1,3,1)$，$T(e_2)=(-5,2,0,0)$，其中 $e_1=(1,0)$，$e_2=(0,1)$。

解答：
线性变换 $T$ 的标准矩阵 $A$ 由 $T(e_1)$ 和 $T(e_2)$ 作为列向量构成。
$T(e_1)=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ 3\\ 1\end{array}\right]$，$T(e_2)=\left[\begin{array}{c}-5\\ 2\\ 0\\ 0\end{array}\right]$。
因此，标准矩阵 $A=[T(e_1)T(e_2)]$。

结论：
$A=\left[\begin{array}{cc}3& -5\\ 1& 2\\ 3& 0\\ 1& 0\end{array}\right]$

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2. $T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$，$T(e_1)=(1,3)$，$T(e_2)=(4,-7)$，$T(e_3)=(-5,4)$，其中 $e_1,e_2,e_3$ 是 $3\times 3$ 单位矩阵的列。

解答：
线性变换 $T$ 的标准矩阵 $A$ 由 $T(e_1)$、$T(e_2)$ 和 $T(e_3)$ 作为列向量构成。
$T(e_1)=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]$，$T(e_2)=\left[\begin{array}{c}4\\ -7\end{array}\right]$，$T(e_3)=\left[\begin{array}{c}-5\\ 4\end{array}\right]$。
因此，标准矩阵 $A=[T(e_1)T(e_2)T(e_3)]$。

结论：
$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 4& -5\\ 3& -7& 4\end{array}\right]$

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3. $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 将点绕原点逆时针旋转 $3\pi /2$ 弧度。

解答：
绕原点逆时针旋转 $\theta$ 弧度的变换矩阵为 $\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$。
当 $\theta =3\pi /2$ 时：
$\cos (3\pi /2)=0$，$\sin (3\pi /2)=-1$。
因此，$T(e_1)=\left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]$，$T(e_2)=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$。
标准矩阵 $A=[T(e_1)T(e_2)]$。

结论：
$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$

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4. $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 将点绕原点顺时针旋转 $-\pi /4$ 弧度。

解答：
绕原点顺时针旋转 $-\pi /4$ 弧度等同于逆时针旋转 $\pi /4$ 弧度。
旋转矩阵为 $\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$，其中 $\theta =\pi /4$。
$\cos (\pi /4)=\sin (\pi /4)=\frac{1}{\sqrt{2}}$。
因此，$T(e_1)=\left[\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2}\end{array}\right]$，$T(e_2)=\left[\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\end{array}\right]$。
标准矩阵 $A=[T(e_1)T(e_2)]$。

结论：
$A=\left[\begin{array}{cc}1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{2}\end{array}\right]$

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5. $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 是垂直剪切变换，将 $e_1$ 映射为 $e_1-2e_2$ 而保持向量 $e_2$ 不变。

解答：
垂直剪切变换保持 $e_2$ 不变，即 $T(e_2)=e_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$。
$e_1$ 被映射为 $e_1-2e_2=\left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]$。
因此，$T(e_1)=\left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]$，$T(e_2)=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$。
标准矩阵 $A=[T(e_1)T(e_2)]$。

结论：
$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right]$

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6. $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 是水平剪切变换，将 $e_2$ 映为 $e_2+3e_1$ 而保持向量 $e_1$ 不变。

解答：
水平剪切变换保持 $e_1$ 不变，即 $T(e_1)=e_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$。
$e_2$ 被映射为 $e_2+3e_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]$。
因此，$T(e_1)=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$，$T(e_2)=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]$。
标准矩阵 $A=[T(e_1)T(e_2)]$。

结论：
$A=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right]$

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7. $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 先绕原点顺时针旋转 $-3\pi /4$ 弧度，再关于水平 $x_1$ 轴作对称变换。

解答：

1. 顺时针旋转 $-3\pi /4$ 弧度（等同于逆时针旋转 $5\pi /4$ 弧度）：

   • 旋转矩阵为 $\left[\begin{array}{cc}\cos (-3\pi /4)& -\sin (-3\pi /4)\\ \sin (-3\pi /4)& \cos (-3\pi /4)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1/\sqrt{2}& -1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{2}\end{array}\right]$
   • $e_1$ 旋转后变为 $(-1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2})$
   • $e_2$ 旋转后变为 $(-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})$

2. 关于 $x_1$ 轴的对称变换：

   • 将点 $(x_1,x_2)$ 映射为 $(x_1,-x_2)$
   • $(-1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2})$ 变为 $(-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})$
   • $(-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})$ 变为 $(-1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2})$

因此，$T(e_1)=\left[\begin{array}{c}-1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\end{array}\right]$，$T(e_2)=\left[\begin{array}{c}-1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2}\end{array}\right]$。
标准矩阵 $A=[T(e_1)T(e_2)]$。

结论：
$A=\left[\begin{array}{cc}-1/\sqrt{2}& -1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}& -1/\sqrt{2}\end{array}\right]$

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8. $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 先关于水平 $x_1$ 轴作对称变换，再关于直线 $x_2=x_1$ 作对称变换。

解答：

1. 关于 $x_1$ 轴的对称变换：

   • $e_1=(1,0)$ 变为 $(1,0)$
   • $e_2=(0,1)$ 变为 $(0,-1)$

2. 关于直线 $x_2=x_1$ 的对称变换：

   • 将点 $(x_1,x_2)$ 映射为 $(x_2,x_1)$
   • $(1,0)$ 变为 $(0,1)$
   • $(0,-1)$ 变为 $(-1,0)$

因此，$T(e_1)=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$，$T(e_2)=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right]$。
标准矩阵 $A=[T(e_1)T(e_2)]$。

结论：
$A=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$

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9. $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 先作水平剪切变换，将 $e_2$ 映为 $e_2-2e_1$ 而保持向量 $e_1$ 不变，再关于直线 $x_2=-x_1$ 作对称变换。

解答：

1. 水平剪切变换：

   • $e_1=(1,0)$ 保持不变，即 $(1,0)$
   • $e_2=(0,1)$ 变为 $(-2,1)$

2. 关于直线 $x_2=-x_1$ 的对称变换：

   • 将点 $(x_1,x_2)$ 映射为 $(-x_2,-x_1)$
   • $(1,0)$ 变为 $(0,-1)$
   • $(-2,1)$ 变为 $(-1,2)$

因此，$T(e_1)=\left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]$，$T(e_2)=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$。
标准矩阵 $A=[T(e_1)T(e_2)]$。

结论：
$A=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 2\end{array}\right]$

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10. $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 先关于水平 $x_2$ 轴作对称变换，再绕原点顺时针旋转 $\pi /2$ 弧度。

解答：

1. 关于 $x_2$ 轴的对称变换：

   • $e_1=(1,0)$ 变为 $(-1,0)$
   • $e_2=(0,1)$ 保持不变，即 $(0,1)$

2. 顺时针旋转 $\pi /2$ 弧度（等同于逆时针旋转 $3\pi /2$ 弧度）：

   • 旋转矩阵为 $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$
   • $(-1,0)$ 变为 $(0,1)$
   • $(0,1)$ 变为 $(1,0)$

因此，$T(e_1)=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$，$T(e_2)=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$。
标准矩阵 $A=[T(e_1)T(e_2)]$。

结论：
$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

[!CAUTION]

绕原点逆时针旋转 $\theta$ 弧度的变换矩阵为 $\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$。

绕原点顺时针旋转 $\theta$ 弧度的变换矩阵为 $\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$

11. 线性变换 $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 先关于 $x_1$ 轴作对称变换，再关于 $x_2$ 轴作对称变换。证明 $T$ 也可被描述为一个绕原点旋转的线性变换。旋转的角度是多少？

解答：

1. 关于 $x_1$ 轴的对称变换矩阵为 $A_1=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$
2. 关于 $x_2$ 轴的对称变换矩阵为 $A_2=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$
3. 复合变换 $T$ 的标准矩阵为 $A=A_2{A}_1=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

旋转矩阵的一般形式为 $\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$。
当 $\theta =\pi$ 时，$\cos \pi =-1$，$\sin \pi =0$，得到 $\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$，与 $A$ 完全一致。

结论：
$T$ 是一个绕原点旋转 $\pi$ 弧度（180°）的线性变换。

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12. 证明：习题 8 中的变换只不过是一个绕原点的旋转。旋转的角度是多少？

解答：
习题 8 中的变换是先关于水平 $x_1$ 轴作对称变换，再关于直线 $x_2=x_1$ 作对称变换。

1. 关于 $x_1$ 轴的对称变换矩阵为 $A_1=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$
2. 关于直线 $x_2=x_1$ 的对称变换矩阵为 $A_2=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$
3. 复合变换 $T$ 的标准矩阵为 $A=A_2{A}_1=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$

旋转矩阵的一般形式为 $\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$。
当 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 时，$\cos \frac{\pi }{2}=0$，$\sin \frac{\pi }{2}=1$，得到 $\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$，与 $A$ 完全一致。

结论：
习题 8 中的变换是一个绕原点旋转 $\frac{\pi }{2}$ 弧度（90°）的线性变换。

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15. 填上矩阵中未写出的元素，假设方程对变量的所有值都成立。
    $\left[\begin{array}{ccc}?& ?& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3x_1-2x_3\\ 4x_1\\ x_1-x_2+x_3\end{array}\right]$

解答：

1. 右边第一行 $3x_1-2x_3$ 对应矩阵第一行：$[3,0,-2]$
2. 右边第二行 $4x_1$ 对应矩阵第二行：$[4,0,0]$
3. 右边第三行 $x_1-x_2+x_3$ 对应矩阵第三行：$[1,-1,1]$

结论：
矩阵为 $\left[\begin{array}{ccc}3& 0& -2\\ 4& 0& 0\\ 1& -1& 1\end{array}\right]$

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16. 填上矩阵中未写出的元素，假设方程对变量的所有值都成立。
    $\left[\begin{array}{cc}?& ?\\ ?& ?\\ ?& ?\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1-x_2\\ -2x_1+x_2\\ x_1\end{array}\right]$

解答：

1. 右边第一行 $x_1-x_2$ 对应矩阵第一行：$[1,-1]$
2. 右边第二行 $-2x_1+x_2$ 对应矩阵第二行：$[-2,1]$
3. 右边第三行 $x_1$ 对应矩阵第三行：$[1,0]$

结论：
矩阵为 $\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

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17. $T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(0,x_1+x_2,x_2+x_3,x_3+x_4)$

解答：
设 $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)$，$y=(y_1,y_2,y_3,y_4)$ 为 ${\mathbb{R}}^4$ 中的向量，$c,d$ 为标量。
计算 $T(cx+dy)$：
$$T(cx+dy)=T(c{x}_1+d{y}_1,c{x}_2+d{y}_2,c{x}_3+d{y}_3,c{x}_4+d{y}_4)$$

$$=(0,(c{x}_1+d{y}_1)+(c{x}_2+d{y}_2),(c{x}_2+d{y}_2)+(c{x}_3+d{y}_3),(c{x}_3+d{y}_3)+(c{x}_4+d{y}_4))$$

$$=(0,c(x_1+x_2)+d(y_1+y_2),c(x_2+x_3)+d(y_2+y_3),c(x_3+x_4)+d(y_3+y_4))$$

$$=c(0,x_1+x_2,x_2+x_3,x_3+x_4)+d(0,y_1+y_2,y_2+y_3,y_3+y_4)$$

$$=cT(x)+dT(y)$$

结论：
$T$ 是线性变换。

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18. $T(x_1,x_2)=(2x_2-3x_1,x_1-4x_2,0,x_2)$

解答：
设 $x=(x_1,x_2)$，$y=(y_1,y_2)$ 为 ${\mathbb{R}}^2$ 中的向量，$c,d$ 为标量。
计算 $T(cx+dy)$：
$$T(cx+dy)=T(c{x}_1+d{y}_1,c{x}_2+d{y}_2)$$

$$=(2(c{x}_2+d{y}_2)-3(c{x}_1+d{y}_1),(c{x}_1+d{y}_1)-4(c{x}_2+d{y}_2),0,c{x}_2+d{y}_2)$$

$$=(c(2x_2-3x_1)+d(2y_2-3y_1),c(x_1-4x_2)+d(y_1-4y_2),0,c{x}_2+d{y}_2)$$

$$=c(2x_2-3x_1,x_1-4x_2,0,x_2)+d(2y_2-3y_1,y_1-4y_2,0,y_2)$$

$$=cT(x)+dT(y)$$

结论：
$T$ 是线性变换。

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19. $T(x_1,x_2,x_3)=(x_1-5x_2+4x_3,x_2-6x_3)$

解答：
设 $x=(x_1,x_2,x_3)$，$y=(y_1,y_2,y_3)$ 为 ${\mathbb{R}}^3$ 中的向量，$c,d$ 为标量。
计算 $T(cx+dy)$：
$$T(cx+dy)=T(c{x}_1+d{y}_1,c{x}_2+d{y}_2,c{x}_3+d{y}_3)$$

$$=((c{x}_1+d{y}_1)-5(c{x}_2+d{y}_2)+4(c{x}_3+d{y}_3),(c{x}_2+d{y}_2)-6(c{x}_3+d{y}_3))$$

$$=(c(x_1-5x_2+4x_3)+d(y_1-5y_2+4y_3),c(x_2-6x_3)+d(y_2-6y_3))$$

$$=c(x_1-5x_2+4x_3,x_2-6x_3)+d(y_1-5y_2+4y_3,y_2-6y_3)$$

$$=cT(x)+dT(y)$$

结论：
$T$ 是线性变换。

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20. $T(x_1,x_2,x_3,x_4)=2x_1+3x_3-4x_4$ （$T:{\mathbb{R}}^4\to \mathbb{R}$）

解答：
设 $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)$，$y=(y_1,y_2,y_3,y_4)$ 为 ${\mathbb{R}}^4$ 中的向量，$c,d$ 为标量。
计算 $T(cx+dy)$：
$$T(cx+dy)=2(c{x}_1+d{y}_1)+3(c{x}_3+d{y}_3)-4(c{x}_4+d{y}_4)$$

$$=c(2x_1+3x_3-4x_4)+d(2y_1+3y_3-4y_4)$$

$$=cT(x)+dT(y)$$

结论：
$T$ 是线性变换。

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21. 设 $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 为使 $T(x_1,x_2)=(x_1+x_2,4x_1+5x_2)$ 的线性变换，求出 $x$，使 $T(x)=(3,8)$。

解答：
需要解方程组：
$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=3\\ 4x_1+5x_2=8\end{array}$$
增广矩阵为：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 4& 5& 8\end{array}\right]$$
行变换过程：

1. $R_2\leftarrow R_2-4R_1$：$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 0& 1& -4\end{array}\right]$
2. $R_1\leftarrow R_1-R_2$：$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 7\\ 0& 1& -4\end{array}\right]$

结论：
$x=\left[\begin{array}{c}7\\ -4\end{array}\right]$

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22. 设 $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$ 为线性变换，$T(x_1,x_2)=(x_1-2x_2,-x_1+3x_2,3x_1-2x_2)$，求出 $x$，使 $T(x)=(-1,4,9)$。

解答：
需要解方程组：
$$\{\begin{array}{l}{x}_1-2x_2=-1\\ -x_1+3x_2=4\\ 3x_1-2x_2=9\end{array}$$
增广矩阵为：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& -2& -1\\ -1& 3& 4\\ 3& -2& 9\end{array}\right]$$
行变换过程：

1. $R_2\leftarrow R_2+R_1$，$R_3\leftarrow R_3-3R_1$：$\left[\begin{array}{ccc}1& -2& -1\\ 0& 1& 3\\ 0& 4& 12\end{array}\right]$
2. $R_3\leftarrow R_3-4R_2$：$\left[\begin{array}{ccc}1& -2& -1\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$
3. $R_1\leftarrow R_1+2R_2$：$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 5\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

结论：
$x=\left[\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right]$

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23. a. 线性变换 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 完全由它对 $n\times n$ 单位矩阵 $I_n$ 的作用确定。
    b. 若 $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 把向量绕原点旋转一角度 $\phi$，则 $T$ 是线性变换。
    c. 两个线性变换的复合不一定是线性变换。
    d. 映射 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 是把 ${\mathbb{R}}^n$ 映射到 ${\mathbb{R}}^m$ 的，若 ${\mathbb{R}}^n$ 中每个向量 $x$ 映上到 ${\mathbb{R}}^m$ 中的某个向量。
    e. 若 $A$ 是 $3\times 2$ 矩阵，则变换 $x\mapsto Ax$ 不是一对一的。

解答：
a. 线性变换由它对标准基向量的作用完全确定，而标准基向量正是单位矩阵的列。
b. 旋转变换满足线性变换的定义：$T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)$。
c. 两个线性变换的复合仍然是线性变换，因为 $(S\circ T)(cu+dv)=S(T(cu+dv))=S(cT(u)+dT(v))=cS(T(u))+dS(T(v))=c(S\circ T)(u)+d(S\circ T)(v)$。
d. “映上"要求 ${\mathbb{R}}^n$ 中每个向量 $x$ 映射到 ${\mathbb{R}}^m$ 中的每个向量，而非"某个向量”。
e. $A$ 是 $3\times 2$ 矩阵，若列线性无关，则变换是一对一的；若列线性相关，则不是一对一的。

结论：
a. True
b. True
c. False
d. False
e. False

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