线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章 矩阵代数 2.2 矩阵的逆(1)

2.2

练习题

1. 应用行列式判断以下矩阵是否可逆：
   a. $\left[\begin{array}{cc}3& -9\\ 2& 6\end{array}\right]$
   b. $\left[\begin{array}{cc}4& -9\\ 0& 5\end{array}\right]$
   c. $\left[\begin{array}{cc}6& -9\\ -4& 6\end{array}\right]$

解答：
a. 计算行列式：
$$\det \left[\begin{array}{cc}3& -9\\ 2& 6\end{array}\right]=3\times 6-(-9)\times 2=18+18=36$$
行列式不等于零，故矩阵可逆。

b. 计算行列式：
$$\det \left[\begin{array}{cc}4& -9\\ 0& 5\end{array}\right]=4\times 5-(-9)\times 0=20-0=20$$
行列式不等于零，故矩阵可逆。

c. 计算行列式：
$$\det \left[\begin{array}{cc}6& -9\\ -4& 6\end{array}\right]=6\times 6-(-9)\times (-4)=36-36=0$$
行列式等于零，故矩阵不可逆。

结论：
a. 可逆；b. 可逆；c. 不可逆

---

2. 求 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& -2& -1\\ -1& 5& 6\\ 5& -4& 5\end{array}\right]$ 的逆矩阵，假如它存在。

解答：
构造增广矩阵 $[A\mid I]$：
$$\left[\begin{array}{cccccc}1& -2& -1& 1& 0& 0\\ -1& 5& 6& 0& 1& 0\\ 5& -4& 5& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
行变换过程：

1. $R_2\leftarrow R_2+R_1$：
   $$\left[\begin{array}{cccccc}1& -2& -1& 1& 0& 0\\ 0& 3& 5& 1& 1& 0\\ 5& -4& 5& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

2. $R_3\leftarrow R_3-5R_1$：
   $$\left[\begin{array}{cccccc}1& -2& -1& 1& 0& 0\\ 0& 3& 5& 1& 1& 0\\ 0& 6& 10& -5& 0& 1\end{array}\right]$$

3. $R_3\leftarrow R_3-2R_2$：
   $$\left[\begin{array}{cccccc}1& -2& -1& 1& 0& 0\\ 0& 3& 5& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& -7& -2& 1\end{array}\right]$$
   左半部分出现全零行，无法化为单位矩阵。

结论：
矩阵 $A$ 不可逆，逆矩阵不存在。

---

3. 若 $A$ 是可逆矩阵，证明 $5A$ 是可逆矩阵。

解答：

1. 由 $A$ 可逆，存在矩阵 $C$ 使得 $AC=CA=I$。

2. 设 $D=\frac{1}{5}C$，验证：
   $$(5A)D=(5A)\left(\frac{1}{5}C\right)=5\cdot \frac{1}{5}\cdot (AC)=1\cdot I=I,$$

   $$D(5A)=\left(\frac{1}{5}C\right)(5A)=\frac{1}{5}\cdot 5\cdot (CA)=1\cdot I=I.$$

3. 满足逆矩阵定义，故 $D$ 是 $5A$ 的逆矩阵。

结论：
$5A$ 是可逆矩阵，其逆矩阵为 $\frac{1}{5}{A}^{-1}$。

习题2.2

1. 求 $\left[\begin{array}{cc}8& 6\\ 5& 4\end{array}\right]$ 的逆

解答：
计算行列式：
$$\det A=8\times 4-6\times 5=32-30=2$$
应用逆矩阵公式 $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$：
$$A^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}4& -6\\ -5& 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& -3\\ -5/2& 4\end{array}\right]$$

结论：
$\left[\begin{array}{cc}2& -3\\ -5/2& 4\end{array}\right]$

---

2. 求 $\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 7& 4\end{array}\right]$ 的逆

解答：
计算行列式：
$$\det A=3\times 4-2\times 7=12-14=-2$$
应用逆矩阵公式：
$$A^{-1}=\frac{1}{-2}\left[\begin{array}{cc}4& -2\\ -7& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ 7/2& -3/2\end{array}\right]$$

结论：
$\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ 7/2& -3/2\end{array}\right]$

---

3. 求 $\left[\begin{array}{cc}8& 5\\ -7& -5\end{array}\right]$ 的逆

解答：
计算行列式：
$$\det A=8\times (-5)-5\times (-7)=-40+35=-5$$
应用逆矩阵公式：
$$A^{-1}=\frac{1}{-5}\left[\begin{array}{cc}-5& -5\\ 7& 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -7/5& -8/5\end{array}\right]\text{或}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -1.4& -1.6\end{array}\right]$$

结论：
$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -7/5& -8/5\end{array}\right]$

---

4. 求 $\left[\begin{array}{cc}3& -4\\ 7& -8\end{array}\right]$ 的逆

解答：
计算行列式：
$$\det A=3\times (-8)-(-4)\times 7=-24+28=4$$
应用逆矩阵公式：
$$A^{-1}=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{cc}-8& 4\\ -7& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ -7/4& 3/4\end{array}\right]\text{或}\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ -1.75& 0.75\end{array}\right]$$

结论：
$\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ -7/4& 3/4\end{array}\right]$

---

5. 用习题 1 求出的逆矩阵解下列方程组：
   $8x_1+6x_2=2$
   $5x_1+4x_2=-1$

解答：
方程组等价于 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，其中 $A=\left[\begin{array}{cc}8& 6\\ 5& 4\end{array}\right]$，$\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]$。
由习题 1 知 $A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}2& -3\\ -5/2& 4\end{array}\right]$，解为：
$$\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}=\left[\begin{array}{cc}2& -3\\ -5/2& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\cdot 2+(-3)\cdot (-1)\\ (-5/2)\cdot 2+4\cdot (-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4+3\\ -5-4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7\\ -9\end{array}\right]$$

结论：
$x_1=7$，$x_2=-9$

---

6. 用习题 3 求出的逆矩阵解下列方程组：
   $8x_1+5x_2=-9$
   $-7x_1-5x_2=11$

解答：
方程组等价于 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，其中 $A=\left[\begin{array}{cc}8& 5\\ -7& -5\end{array}\right]$，$\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}-9\\ 11\end{array}\right]$。
由习题 3 知 $A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -7/5& -8/5\end{array}\right]$，解为：
$$\begin{gathered} \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -7/5& -8/5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-9\\ 11\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{c}1\cdot (-9)+1\cdot 11\\ (-7/5)\cdot (-9)+(-8/5)\cdot 11\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-9+11\\ 63/5-88/5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ -25/5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ -5\end{array}\right] \end{gathered}$$

结论：
$x_1=2$，$x_2=-5$

---

7. 设 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 5& 12\end{array}\right]$，${\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right]$，${\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ -5\end{array}\right]$，${\mathbf{b}}_3=\left[\begin{array}{c}2\\ 6\end{array}\right]$，${\mathbf{b}}_4=\left[\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right]$。
   a. 求 $A^{-1}$ 且用它解下列四个方程组：$A\mathbf{x}={\mathbf{b}}_1$，$A\mathbf{x}={\mathbf{b}}_2$，$A\mathbf{x}={\mathbf{b}}_3$，$A\mathbf{x}={\mathbf{b}}_4$
   b. 利用对增广矩阵 $[A\mid {\mathbf{b}}_1\mid {\mathbf{b}}_2\mid {\mathbf{b}}_3\mid {\mathbf{b}}_4]$ 做行化简的方法解 (a) 中的四个方程

解答：
a.
计算 $A^{-1}$：
$$\begin{gathered} \det A=1\times 12-2\times 5=12-10=2, \\ {A}^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}12& -2\\ -5& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}6& -1\\ -5/2& 1/2\end{array}\right]\text{或}\left[\begin{array}{cc}6& -1\\ -2.5& 0.5\end{array}\right] \end{gathered}$$
解方程组：

• $A\mathbf{x}={\mathbf{b}}_1$：
  $$\begin{gathered} \mathbf{x}=A^{-1}{\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{cc}6& -1\\ -5/2& 1/2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{c}6\cdot (-1)+(-1)\cdot 3\\ (-5/2)\cdot (-1)+(1/2)\cdot 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-6-3\\ 5/2+3/2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-9\\ 4\end{array}\right] \end{gathered}$$

• $A\mathbf{x}={\mathbf{b}}_2$：
  $$\begin{gathered} \mathbf{x}=A^{-1}{\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{cc}6& -1\\ -5/2& 1/2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ -5\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{c}6\cdot 1+(-1)\cdot (-5)\\ (-5/2)\cdot 1+(1/2)\cdot (-5)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6+5\\ -5/2-5/2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}11\\ -5\end{array}\right] \end{gathered}$$

• $A\mathbf{x}={\mathbf{b}}_3$：
  $$\begin{gathered} \mathbf{x}=A^{-1}{\mathbf{b}}_3=\left[\begin{array}{cc}6& -1\\ -5/2& 1/2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\ 6\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{c}6\cdot 2+(-1)\cdot 6\\ (-5/2)\cdot 2+(1/2)\cdot 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}12-6\\ -5+3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6\\ -2\end{array}\right] \end{gathered}$$

• $A\mathbf{x}={\mathbf{b}}_4$：
  $$\begin{gathered} \mathbf{x}=A^{-1}{\mathbf{b}}_4=\left[\begin{array}{cc}6& -1\\ -5/2& 1/2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{c}6\cdot 3+(-1)\cdot 5\\ (-5/2)\cdot 3+(1/2)\cdot 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}18-5\\ -15/2+5/2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}13\\ -5\end{array}\right] \end{gathered}$$

b.
构造增广矩阵 $[A\mid {\mathbf{b}}_1\mid {\mathbf{b}}_2\mid {\mathbf{b}}_3\mid {\mathbf{b}}_4]$：
$$\left[\begin{array}{cccccc}1& 2& -1& 1& 2& 3\\ 5& 12& 3& -5& 6& 5\end{array}\right]$$
行变换过程：

1. $R_2\leftarrow R_2-5R_1$：
   $$\left[\begin{array}{cccccc}1& 2& -1& 1& 2& 3\\ 0& 2& 8& -10& -4& -10\end{array}\right]$$

2. $R_2\leftarrow \frac{1}{2}{R}_2$：
   $$\left[\begin{array}{cccccc}1& 2& -1& 1& 2& 3\\ 0& 1& 4& -5& -2& -5\end{array}\right]$$

3. $R_1\leftarrow R_1-2R_2$：
   $$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& -9& 11& 6& 13\\ 0& 1& 4& -5& -2& -5\end{array}\right]$$
   右半部分直接给出解：

   • ${\mathbf{b}}_1$ 对应解：$\left[\begin{array}{c}-9\\ 4\end{array}\right]$
   • ${\mathbf{b}}_2$ 对应解：$\left[\begin{array}{c}11\\ -5\end{array}\right]$
   • ${\mathbf{b}}_3$ 对应解：$\left[\begin{array}{c}6\\ -2\end{array}\right]$
   • ${\mathbf{b}}_4$ 对应解：$\left[\begin{array}{c}13\\ -5\end{array}\right]$

---

8. 利用矩阵代数证明：若 $A$ 是可逆矩阵，且矩阵 $D$ 满足 $AD=I$，则 $D=A^{-1}$。

解答：

1. 由 $A$ 可逆，存在 $A^{-1}$ 使得 $A^{-1}A=I$。

2. 在等式 $AD=I$ 两边左乘 $A^{-1}$：
   $$A^{-1}(AD)=A^{-1}I$$

3. 应用矩阵乘法结合律：
   $$(A^{-1}A)D=A^{-1}$$

4. 代入 $A^{-1}A=I$：
   $$ID=A^{-1}$$

5. 由单位矩阵性质 $ID=D$，得：
   $$D=A^{-1}$$

结论：
$D=A^{-1}$

---

9. 判断下列陈述的真假：
   a. 为了使矩阵 $B$ 为 $A$ 的逆，$AB=I$ 及 $BA=I$ 都必须为真。
   b. 若 $A,B$ 是可逆 $n\times n$ 矩阵，则 $A^{-1}{B}^{-1}$ 是 $AB$ 的逆。
   c. 若 $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ 且 $ab-cd\ne 0$，则 $A$ 可逆。
   d. 若 $A$ 是可逆 $n\times n$ 矩阵，则方程 $Ax=b$ 对 ${\mathbb{R}}^n$ 中任意 $b$ 相容。
   e. 每个初等矩阵都可逆。

解答：
a. 矩阵可逆的定义要求 $AB=I$ 和 $BA=I$ 同时成立，故为真。
b. 由定理 6(b)，$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$，而非 $A^{-1}{B}^{-1}$，故为假。
c. 反例：$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$ 时 $ab-cd=1-0=1\ne 0$，但 $\det A=ad-bc=0$，故不可逆，为假。
d. 由定理 5，$A$ 可逆时 $Ax=b$ 对任意 $b$ 有唯一解，故相容，为真。
e. 初等矩阵对应初等行变换，其逆矩阵存在（对应逆变换），故为真。

结论：
a. 真；b. 假；c. 假；d. 真；e. 真

---

10. 判断下列陈述的真假：
    a. 若干个可逆 $n\times n$ 矩阵之积可逆，且其逆为这些矩阵的逆按相同顺序的乘积。
    b. 若 $A$ 可逆，则 $A^{-1}$ 的逆就是 $A$ 本身。
    c. 若 $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ 且 $ad=bc$，则 $A$ 不可逆。
    d. 若 $A$ 可行化简为单位矩阵，则 $A$ 必可逆。
    e. 若 $A$ 可逆，则把 $A$ 化简为单位矩阵 $I_n$ 的行变换也将 $A^{-1}$ 化简为 $I_n$。

解答：
a. 矩阵乘积的逆满足 $(A_1{A}_2\cdots A_k{)}^{-1}=A_k^{-1}\cdots A_2^{-1}{A}_1^{-1}$，顺序相反，故为假。
b. 由定理 6(a)，$(A^{-1}{)}^{-1}=A$，故为真。
c. 由定理 4，$2\times 2$ 矩阵 $A$ 可逆当且仅当 $\det A=ad-bc\ne 0$，若 $ad=bc$ 则 $\det A=0$，故不可逆，为真。
d. 由定理 7，$A$ 行等价于 $I_n$ 当且仅当 $A$ 可逆，故为真。
e. 将 $A$ 化为 $I_n$ 的行变换对应左乘初等矩阵 $E_k\cdots E_1$，使得 $E_k\cdots E_{1}A=I_n$，则 $A^{-1}=E_k\cdots E_1$。对 $A^{-1}$ 应用相同变换得 $E_k\cdots E_1{A}^{-1}=A^{-1}{A}^{-1}\ne I_n$，故为假。

结论：
a. 假；b. 真；c. 真；d. 真；e. 假

---

11. 设 $A$ 为可逆 $n\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times p$ 矩阵，证明方程 $AX=B$ 有唯一解 $A^{-1}B$.

解答：
因为 $A$ 可逆，所以 $A^{-1}$ 存在。

• 验证 $X=A^{-1}B$ 是解：
  $$A(A^{-1}B)=(A{A}^{-1})B=IB=B$$

• 为证唯一性，设 $X$ 是任意解，即 $AX=B$。两边左乘 $A^{-1}$：
  $$A^{-1}(AX)=A^{-1}B⟹(A^{-1}A)X=A^{-1}B⟹IX=A^{-1}B⟹X=A^{-1}B$$

结论：
方程 $AX=B$ 有唯一解 $X=A^{-1}B$

---

12. 设 $A$ 为可逆 $n\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times p$ 矩阵，解释为什么 $A^{-1}B$ 可由行化简求得：若 $[A\mid B]\sim \cdots \sim [I\mid X]$，则 $X=A^{-1}B$。若 $A$ 是大于 $2\times 2$ 的矩阵，则 $[A\mid B]$ 的行化简比计算 $A^{-1}$ 和 $A^{-1}B$ 要快得多。

解答：
将 $B$ 和 $X$ 按列分块：$B=[{\mathbf{b}}_1\cdots {\mathbf{b}}_p]$，$X=[{\mathbf{u}}_1\cdots {\mathbf{u}}_p]$。

• $AX=B$ 等价于 $p$ 个方程组 $A{\mathbf{u}}_j={\mathbf{b}}_j$ ($j=1,\dots ,p$)。
• 由于 $A$ 可逆，每个方程组有唯一解。同时求解时，对增广矩阵 $[A\mid B]$ 行化简。
• 因 $A$ 可逆，$[A\mid B]$ 可化为 $[I\mid X]$，其中 $X$ 的列是 ${\mathbf{u}}_j$。
• 由习题 11，$X=A^{-1}B$。
• 行化简 $[A\mid B]$ 直接得到 $X$，避免了显式计算 $A^{-1}$ 和矩阵乘法，当 $A$ 较大时效率更高。

结论：
$X=A^{-1}B$ 由行化简 $[A\mid B]$ 得到，且比先求 $A^{-1}$ 再乘 $B$ 更高效。

---

13. 设 $AB=AC$，其中 $B$ 与 $C$ 为 $n\times p$ 矩阵，$A$ 可逆。证明 $B=C$。若 $A$ 不可逆，是否仍有 $B=C$？

解答：

• 当 $A$ 可逆时：
  左乘 $A^{-1}$：
  $$A^{-1}(AB)=A^{-1}(AC)⟹(A^{-1}A)B=(A^{-1}A)C⟹IB=IC⟹B=C$$

• 当 $A$ 不可逆时：
  结论不一定成立。反例：
  $$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$$
  则 $AB=AC=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$，但 $B\ne C$。

结论：
当 $A$ 可逆时，$B=C$；当 $A$ 不可逆时，$B$ 与 $C$ 不一定相等。

---

14. 设 $(B-C)D=0$，其中 $B$ 与 $C$ 为 $m\times n$ 矩阵，$D$ 可逆。证明 $B=C$。

解答：
因为 $D$ 可逆，右乘 $D^{-1}$：
$$(B-C)D\cdot D^{-1}=0\cdot D^{-1}⟹(B-C)(D{D}^{-1})=0⟹(B-C)I=0⟹B-C=0$$
故 $B=C$。

结论：
$B=C$

---

15. 设 $A,B,C$ 为可逆 $n\times n$ 矩阵，找一个矩阵 $D$ 满足 $(ABC)D=I$ 及 $D(ABC)=I$ 从而证明 $ABC$ 也可逆。

解答：
取 $D=C^{-1}{B}^{-1}{A}^{-1}$，验证：

• $(ABC)D=ABC(C^{-1}{B}^{-1}{A}^{-1})=AB(C{C}^{-1})B^{-1}{A}^{-1}=A(B{B}^{-1})A^{-1}=A{A}^{-1}=I$
• $D(ABC)=(C^{-1}{B}^{-1}{A}^{-1})ABC=C^{-1}{B}^{-1}(A^{-1}A)BC=C^{-1}(B^{-1}B)C=C^{-1}C=I$
  故 $D$ 是 $ABC$ 的逆矩阵。

结论：
$ABC$ 可逆，其逆为 $C^{-1}{B}^{-1}{A}^{-1}$

---

16. 设 $A,B$ 是 $n\times n$ 矩阵，$B$ 可逆，$AB$ 也可逆。证明 $A$ 可逆。（提示：令 $C=AB$，从此式求出 $A$。）

解答：
令 $C=AB$，则 $C$ 可逆（已知）。由 $C=AB$ 解得：
$$A=C{B}^{-1}$$
因为 $C$ 和 $B^{-1}$ 均可逆（$B$ 可逆），其乘积 $A$ 也可逆（可逆矩阵乘积仍可逆）。

结论：
$A$ 可逆

---

17. 设 $A,B,C$ 是方阵，$B$ 可逆，解方程 $AB=BC$ 求 $A$。

解答：
由 $AB=BC$，右乘 $B^{-1}$：
$$AB\cdot B^{-1}=BC\cdot B^{-1}⟹A\cdot I=B\cdot C\cdot B^{-1}⟹A=BC{B}^{-1}$$

结论：
$A=BC{B}^{-1}$

---

18. 设 $P$ 可逆，$A=PB{P}^{-1}$，用 $A$ 表示 $B$。

解答：
由 $A=PB{P}^{-1}$：

• 左乘 $P^{-1}$：$P^{-1}A=P^{-1}PB{P}^{-1}=B{P}^{-1}$
• 右乘 $P$：$P^{-1}AP=B{P}^{-1}P=B\cdot I$
  故 $B=P^{-1}AP$。

结论：
$B=P^{-1}AP$

---

19. 设 $A,B,C$ 是 $n\times n$ 可逆矩阵，方程 $C^{-1}(A+X)B^{-1}=I_n$ 是否有解 $X$？若有，求解。

解答：
假设解存在，对方程变形：

• 左乘 $C$：$C\cdot C^{-1}(A+X)B^{-1}=C\cdot I⟹(A+X)B^{-1}=C$
• 右乘 $B$：$(A+X)B^{-1}\cdot B=C\cdot B⟹A+X=CB$
• 解得：$X=CB-A$
  验证：代入 $X=CB-A$：

$$C^{-1}(A+(CB-A))B^{-1}=C^{-1}(CB)B^{-1}=(C^{-1}C)(B{B}^{-1})=I\cdot I=I$$

成立。

结论：
有解，$X=CB-A$

---

20. 设 $A,B,X$ 是 $n\times n$ 矩阵，$A,X,A-AX$ 可逆，假设
    $$(A-AX{)}^{-1}=X^{-1}B(3)$$
    a. 说明为什么 $B$ 是可逆的。
    b. 由 (3) 式求 $X$。如果需要对矩阵求逆，请说明为什么该矩阵是可逆的。

解答：
a. 由 (3) 式左乘 $X$：
$$X\cdot (A-AX{)}^{-1}=X\cdot X^{-1}B⟹X(A-AX{)}^{-1}=B$$
因为 $X$ 和 $(A-AX{)}^{-1}$ 均可逆，其乘积 $B$ 也可逆（可逆矩阵乘积仍可逆）。
b. 对 (3) 式取逆：
$$(A-AX)=(X^{-1}B{)}^{-1}=B^{-1}(X^{-1}{)}^{-1}=B^{-1}X$$
整理得：
$$A=AX+B^{-1}X=(A+B^{-1})X$$

• 由 a 知 $B$ 可逆，故 $B^{-1}$ 存在。
• $A$ 可逆，且 $X$ 可逆，所以 $A+B^{-1}=A{X}^{-1}$ 可逆（可逆矩阵乘积）。
• 因此 $X=(A+B^{-1}{)}^{-1}A$。

结论：
a. $B$ 可逆，因为它是可逆矩阵 $X$ 与 $(A-AX{)}^{-1}$ 的乘积。
b. $X=(A+B^{-1}{)}^{-1}A$，其中 $A+B^{-1}$ 可逆（因 $A+B^{-1}=A{X}^{-1}$ 且 $A,X$ 可逆）。