线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章矩阵代数 2.4 分块矩阵(2)-优快云博客

设 $xk]X_k = [x_1\ x_2\ \dots\ x_k]$ ， $G_k = X_k X_k^T$ 。当新向量 $x_{k+1}$ 到达时，计算 $G_{k+1} = X_{k+1} X_{k+1}^T$ （其中 $X_{k+1} = [X_k\ x_{k+1}]$ ）的列行展开，并说明如何从 $G_k$ 计算 $G_{k+1}$ 。

解答：
$G_k$ 的列行展开为：
$Gk=XkXkT=∑i=1kcoli(Xk)rowi(XkT)=∑i=1kxixiTG_k = X_k X_k^T = \sum_{i=1}^k \text{col}_i(X_k) \text{row}_i(X_k^T) = \sum_{i=1}^k x_i x_i^T$

当 $x_{k+1}$ 到达时， $X_{k+1} = [X_k\ x_{k+1}]$ ，故：
$\begin{align*} G_{k+1} &= X_{k+1} X_{k+1}^T \\ &= [X_k\ x_{k+1}] \begin{bmatrix} X_k^T \\ x_{k+1}^T \end{bmatrix} \\ &= X_k X_k^T + x_{k+1} x_{k+1}^T \\ &= G_k + x_{k+1} x_{k+1}^T \end{align*}$

列行展开验证：
$\begin{align*} G_{k+1} &= \sum_{i=1}^{k+1} \text{col}_i(X_{k+1}) \text{row}_i(X_{k+1}^T) \\ &= \sum_{i=1}^k \text{col}_i(X_k) \text{row}_i(X_k^T) + \text{col}_{k+1}(X_{k+1}) \text{row}_{k+1}(X_{k+1}^T) \\ &= G_k + x_{k+1} x_{k+1}^T \end{align*}$

结论：
从 $G_k$ 计算 $G_{k+1}$ 的公式为 $G_{k+1} = G_k + x_{k+1} x_{k+1}^T$ 。

a. 证明 $A^2 = I$ ，其中 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$ 。
b. 利用分块矩阵证明 $M^2 = I$ ，其中 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \end{bmatrix}$ 。

解答：
a. 直接计算 $A^2$ ：
$A2=[103−1][103−1]=[1⋅1+0⋅31⋅0+0⋅(−1)3⋅1+(−1)⋅33⋅0+(−1)⋅(−1)]=[1001]=IA^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 3 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) \\ 3 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 & 3 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$

b. 将 $M$ 分块为 $[A0I−A]\begin{bmatrix} A & 0 \\ I & -A \end{bmatrix}$ ，其中 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$ ， $I$ 是 $\times 2$ 单位矩阵。
计算 $M^2$ ：
$M2=[A0I−A][A0I−A]=[A⋅A+0⋅IA⋅0+0⋅(−A)I⋅A+(−A)⋅II⋅0+(−A)⋅(−A)]=[A20A−AA2]M^2 = \begin{bmatrix} A & 0 \\ I & -A \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A & 0 \\ I & -A \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A \cdot A + 0 \cdot I & A \cdot 0 + 0 \cdot (-A) \\ I \cdot A + (-A) \cdot I & I \cdot 0 + (-A) \cdot (-A) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A^2 & 0 \\ A - A & A^2 \end{bmatrix}$
由 a 部分知 $A^2 = I$ ，且 $A - A = 0$ ，故：
$M2=[I00I]=IM^2 = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & I \end{bmatrix} = I$

结论：
a. $A^2 = I$ 成立。
b. $M^2 = I$ 成立。

推广习题21(a)的思想，构造一个5×5矩阵 $\begin{bmatrix} A & 0 \\ C & D \end{bmatrix}$ ，使得 $M^2 = I$ 。令 $C$ 是2×3非零矩阵，验证你构造的矩阵满足要求。

解答：
设 $\begin{bmatrix} I_3 & 0 \\ C & -I_2 \end{bmatrix}$ ，其中 $I_3$ 是 $\times 3$ 单位矩阵， $I_2$ 是 $\times 2$ 单位矩阵， $C$ 是任意 $\times 3$ 非零矩阵。
计算 $M^2$ ：
$M2=[I30C−I2][I30C−I2]=[I3⋅I3+0⋅CI3⋅0+0⋅(−I2)C⋅I3+(−I2)⋅CC⋅0+(−I2)⋅(−I2)]M^2 = \begin{bmatrix} I_3 & 0 \\ C & -I_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_3 & 0 \\ C & -I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_3 \cdot I_3 + 0 \cdot C & I_3 \cdot 0 + 0 \cdot (-I_2) \\ C \cdot I_3 + (-I_2) \cdot C & C \cdot 0 + (-I_2) \cdot (-I_2) \end{bmatrix}$
简化得：
$M2=[I30C−CI2]=[I300I2]=I5M^2 = \begin{bmatrix} I_3 & 0 \\ C - C & I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_3 & 0 \\ 0 & I_2 \end{bmatrix} = I_5$
其中 $C - C = 0$ 且 $I_2)(-I_2) = I_2$ 。

结论：
矩阵 $\begin{bmatrix} I_3 & 0 \\ C & -I_2 \end{bmatrix}$ 满足 $M^2 = I_5$ ，其中 $C$ 为任意 $\times 3$ 矩阵。

应用分块矩阵和归纳法证明所有下三角矩阵的乘积仍然是下三角矩阵。

解答：
基础步骤（ $n = 1$ ）：
1×1 下三角矩阵是标量，其乘积仍是标量，自然为下三角矩阵。

归纳假设：
假设对 $n = k$ ，任意两个 $\times k$ 下三角矩阵的乘积仍是下三角矩阵。

归纳步骤（ $n = k + 1$ ）：
设 $A_1, B_1$ 为 $\times (k+1)$ 下三角矩阵，分块为：
$A1=[a0TvA],B1=[b0TwB]A_1 = \begin{bmatrix} a & 0^T \\ v & A \end{bmatrix}, \quad B_1 = \begin{bmatrix} b & 0^T \\ w & B \end{bmatrix}$
其中 $a, b$ 为标量， $\in \mathbb{R}^k$ ， $A, B$ 为 $\times k$ 下三角矩阵。
计算乘积：
$A1B1=[a0TvA][b0TwB]=[ab+0Twa0T+0TBvb+Awv0T+AB]=[ab0Tbv+AwAB]A_1B_1 = \begin{bmatrix} a & 0^T \\ v & A \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b & 0^T \\ w & B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ab + 0^Tw & a0^T + 0^TB \\ vb + Aw & v0^T + AB \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ab & 0^T \\ bv + Aw & AB \end{bmatrix}$

$ab$ 是标量（左上角元素）
$0^T$ 表明右上部分为零向量
$A B$ 是 $\times k$ 下三角矩阵（由归纳假设）
$b v + A w$ 是 $Rk\mathbb{R}^k$ 中的向量

因此， $A_1B_1$ 是 $\times (k+1)$ 下三角矩阵。

结论：
由数学归纳法，对任意 $\geq 1$ ，下三角矩阵的乘积仍是下三角矩阵。

应用分块矩阵证明当 $2,3,\dots$ 时，下面的 $\times n$ 矩阵 $A$ 是可逆的，其逆为 $B$ ：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -1 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$

解答：
基础步骤（ $n = 2$ ）：
直接计算：
$A2B2=[1011][10−11]=[1001]=I2A_2B_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I_2$

归纳假设：
假设对 $n = k$ ， $A_kB_k = I_k$ 成立。

归纳步骤（ $n = k + 1$ ）：
将 $A_{k+1}, B_{k+1}$ 分块为：
$Ak+1=[10TvAk],Bk+1=[10TwBk]A_{k+1} = \begin{bmatrix} 1 & 0^T \\ v & A_k \end{bmatrix}, \quad B_{k+1} = \begin{bmatrix} 1 & 0^T \\ w & B_k \end{bmatrix}$
其中 $1]v^T = [1\ 1\ \cdots\ 1]$ （ $k$ 个1）， $0]w^T = [-1\ 0\ \cdots\ 0]$ 。
计算乘积：
$Ak+1Bk+1=[10TvAk][10TwBk]=[1+0Tw0T+0TBkv+Akwv0T+AkBk]A_{k+1}B_{k+1} = \begin{bmatrix} 1 & 0^T \\ v & A_k \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0^T \\ w & B_k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 0^Tw & 0^T + 0^TB_k \\ v + A_kw & v0^T + A_kB_k \end{bmatrix}$

$0^Tw = 0$ （因 $w^T$ 仅首元素非零）
$A_kw = -v$ （因 $A_k$ 的第一列为 $v$ ， $w$ 使第一列乘以-1）
$A_kB_k = I_k$ （归纳假设）

因此：
$Ak+1Bk+1=[10T0Ik]=Ik+1A_{k+1}B_{k+1} = \begin{bmatrix} 1 & 0^T \\ 0 & I_k \end{bmatrix} = I_{k+1}$

结论：
由数学归纳法， $A_nB_n = I_n$ 对所有 $\geq 2$ 成立，故 $A$ 可逆且 $B = A^{-1}$ 。

不使用行化简，求矩阵 $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 7 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 6 \end{bmatrix}$ 的逆。

解答：
将 $A$ 分块为 $\times 2$ 块对角矩阵：
$\begin{bmatrix} A_{11} & 0 \\ 0 & A_{22} \end{bmatrix}, \quad \text{其中} \quad A_{11} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}, \quad A_{22} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 8 \\ 0 & 5 & 6 \end{bmatrix}$

进一步将 $A_{22}$ 分块为：
$A22=[200B],其中B=[7856]A_{22} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix}, \quad \text{其中} \quad B = \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$

计算 $A_{11}^{-1}$ ：
$A11−1=1det⁡(A11)[5−2−31]=[−523−1]A_{11}^{-1} = \frac{1}{\det(A_{11})}\begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$
计算 $B^{-1}$ ：
$B−1=1det⁡(B)[6−8−57]=[3−4−2.53.5]B^{-1} = \frac{1}{\det(B)}\begin{bmatrix} 6 & -8 \\ -5 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -2.5 & 3.5 \end{bmatrix}$
计算 $A_{22}^{-1}$ ：
由块对角矩阵性质：
$A22−1=[2−100B−1]=[0.50003−40−2.53.5]A_{22}^{-1} = \begin{bmatrix} 2^{-1} & 0 \\ 0 & B^{-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -4 \\ 0 & -2.5 & 3.5 \end{bmatrix}$
计算 $A^{-1}$ ：
由块对角矩阵性质：
$A−1=[A11−100A22−1]=[−520003−1000000.5000003−4000−2.53.5]A^{-1} = \begin{bmatrix} A_{11}^{-1} & 0 \\ 0 & A_{22}^{-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & -2.5 & 3.5 \end{bmatrix}$

结论：
$A−1=[−520003−1000000.5000003−4000−2.53.5]A^{-1} = \begin{bmatrix} -5 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & -2.5 & 3.5 \end{bmatrix}$

[!CAUTION]

分块对角矩阵的逆矩阵性质

设 $ A $ 是一个分块对角矩阵，具有如下形式：

$\begin{bmatrix} A_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_{kk} \end{bmatrix}$

其中每个子块 $ A_{ii} $（$ i = 1, 2, \dots, k $）均为可逆的方阵。

性质

若上述条件满足，则 $ A $ 可逆，且其逆矩阵为：

$A^{-1} = \begin{bmatrix} A_{11}^{-1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_{22}^{-1} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_{kk}^{-1} \end{bmatrix}$

说明

该性质表明：分块对角矩阵的逆等于各对角块的逆组成的分块对角矩阵。
此结论可推广至任意数量的对角块。
每个子块必须是方阵且可逆，否则 $ A $ 不可逆。

应用价值

简化大型矩阵求逆的计算；
广泛应用于数值线性代数、控制系统、统计学和优化等领域。