线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章 矩阵代数 2.2 矩阵的逆(2)

定理 5：
若 $ n \times n $ 矩阵 $ A $ 可逆，则齐次线性方程组 $ A\mathbf{x} = \mathbf{0} $ 仅有零解。

证明：

设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 可逆矩阵。根据可逆矩阵的定义，存在 $ n \times n $ 矩阵 $ A^{-1} $，使得
$$A^{-1}A=A{A}^{-1}=I_n,$$
其中 $ I_n $ 是 $ n \times n $ 单位矩阵。

考虑齐次线性方程组
$$A\mathbf{x}=0.$$
在等式两边左乘 $ A^{-1} $，得
$$A^{-1}(A\mathbf{x})=A^{-1}0.$$
利用矩阵乘法的结合律和 $ A^{-1}A = I_n $，左边化为
$$(A^{-1}A)\mathbf{x}=I_n\mathbf{x}=\mathbf{x},$$
而右边为
$$A^{-1}0=0.$$
因此，
$$\mathbf{x}=0.$$

这说明方程 $ A\mathbf{x} = \mathbf{0} $ 的唯一解是零向量，即仅有零解。

证毕。

21. 说明若 $n\times n$ 矩阵 $A$ 为可逆的，则它的各列线性无关。

解答：

1. 由定理 5，若 $A$ 可逆，则方程 $A\mathbf{x}=0$ 仅有零解。
2. 根据 1.7 节的注释，这意味着 $A$ 的各列线性无关（因为线性相关时方程会有非平凡解）。

结论：
若 $A$ 可逆，则它的各列线性无关。

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22. 说明若 $n\times n$ 矩阵 $A$ 为可逆，则它的各列生成 ${\mathbb{R}}^n$。（提示：复习 1.4 节定理 4。）

解答：

1. 由定理 5，若 $A$ 可逆，则方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 对任意 $\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^n$ 都有唯一解。
2. 根据 1.4 节定理 4，这意味着 $A$ 的各列生成 ${\mathbb{R}}^n$（即列空间为 ${\mathbb{R}}^n$）。

结论：
若 $A$ 可逆，则它的各列生成 ${\mathbb{R}}^n$。

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[!CAUTION]

定理 7：
设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 矩阵。则以下陈述等价（即它们同时成立或同时不成立）：

1. $ A $ 是可逆的（即存在 $ A^{-1} $ 使得 $ A^{-1}A = AA^{-1} = I_n $）；
2. $ A $ 行等价于 $ n \times n $ 单位矩阵 $ I_n $；
3. $ A $ 的列向量线性无关；
4. 方程 $ A\mathbf{x} = \mathbf{0} $ 仅有平凡解（即只有零解）；
5. 对任意 $ \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n $，方程 $ A\mathbf{x} = \mathbf{b} $ 有唯一解；
6. $ A $ 的列张成 $ \mathbb{R}^n $；
7. 存在 $ n \times n $ 矩阵 $ C $ 使得 $ CA = I_n $；
8. 存在 $ n \times n $ 矩阵 $ D $ 使得 $ AD = I_n $；
9. $ \det(A) \ne 0 $（若已引入行列式）；
10. $ A $ 有 $ n $ 个主元位置（即秩为 $ n $）。

23. 设 $A$ 为 $n\times n$ 矩阵，方程 $A\mathbf{x}=0$ 仅有平凡解，说明为什么 $A$ 有 $n$ 个主元位置且 $A$ 行等价于 $I_n$。由定理 7，这说明 $A$ 必定可逆（本题与 24 题将在 2.3 节用到）。

解答：

1. 若 $A\mathbf{x}=0$ 仅有平凡解，则方程中没有自由变量。
2. 因此 $A$ 有 $n$ 个主元列。
3. 由于 $A$ 是方阵且 $n$ 个主元位置必须在不同行，行阶梯形中主元必须在主对角线上。
4. 故 $A$ 行等价于 $n\times n$ 单位矩阵 $I_n$。

结论：
$A$ 有 $n$ 个主元位置且行等价于 $I_n$，则$A$ 可逆。

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24. 设 $A$ 为 $n\times n$ 矩阵，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 对任意 ${\mathbb{R}}^n$ 中的 $\mathbf{b}$ 有解，证明 $A$ 必可逆。（提示：$A$ 是否行等价于 $I_n$？）

解答：

1. 若 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 对任意 $\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^n$ 有解，则根据 1.4 节定理 4，$A$ 每行都有主元位置。
2. 由于 $A$ 是方阵，主元必须在对角线上。
3. 因此 $A$ 行等价于 $I_n$。
4. 由定理 7，$A$ 可逆。

结论：
$A$ 必可逆。

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25. 若 $ad-bc=0$，则方程 $A\mathbf{x}=0$ 有多于一个解，为什么这说明 $A$ 不可逆？（提示：首先考虑 $a=b=0$。其次，若 $a,b$ 不全为 0，考虑向量 $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right]$。）

解答：
设 $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ 且 $ad-bc=0$。

1. 若 $a=b=0$，则方程 $\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$ 有解 ${\mathbf{x}}_1=\left[\begin{array}{c}d\\ -c\end{array}\right]$（非零，除非 $c=d=0$，此时 $A$ 为零矩阵，$A\mathbf{x}=0$ 有无穷多解）。

2. 若 $a,b$ 不全为 0，设 ${\mathbf{x}}_2=\left[\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right]$，则：
   $$A{\mathbf{x}}_2=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-ab+ba\\ -cb+da\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$$
   （因为 $ad-bc=0$）。

3. 由定理 5，若 $A$ 可逆，则 $A\mathbf{x}=0$ 仅有零解，矛盾。

结论：
$A$ 不可逆。

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26. 证明：若 $ad-bc\ne 0$，则计算 $A^{-1}$ 的公式成立。

解答：

1. 计算乘积：
   $$\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}da-bc& 0\\ 0& -cb+da\end{array}\right]$$

2. 两边除以 $ad-bc$：
   $$\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=I$$

3. 类似地：
   $$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}ad-bc& 0\\ 0& -cb+da\end{array}\right]$$
   两边除以 $ad-bc$ 得 $A\cdot \left(\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]\right)=I$。

4. 因此 $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$。

结论：
当 $ad-bc\ne 0$ 时，$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$ 成立。

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27. a. 利用 2.1 节方程 (1) 证明对 $i=1,2,3$，有 ${\text{row}}_i(A)={\text{row}}_i(I)\cdot A$。
    b. 证明：若交换 $A$ 的第 1 行和第 2 行，则结果可以写成 $EA$，其中 $E$ 是由 $I$ 交换第 1 行和第 2 行所得的初等矩阵。
    c. 证明：若 $A$ 的第 3 行乘以 5，则结果可以写成 $EA$，其中 $E$ 是由 $I$ 的第 3 行乘以 5 所得的初等矩阵。

解答：
a. 由 2.1 节方程 (1)：${\text{row}}_i(BA)={\text{row}}_i(B)\cdot A$。
令 $B=I$，则 ${\text{row}}_i(IA)={\text{row}}_i(I)\cdot A$，即 ${\text{row}}_i(A)={\text{row}}_i(I)\cdot A$。

b. 交换 $A$ 的第 1 行和第 2 行后：
$$\left[\begin{array}{c}{\text{row}}_2(A)\\ {\text{row}}_1(A)\\ {\text{row}}_3(A)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\text{row}}_2(I)\cdot A\\ {\text{row}}_1(I)\cdot A\\ {\text{row}}_3(I)\cdot A\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\text{row}}_2(I)\\ {\text{row}}_1(I)\\ {\text{row}}_3(I)\end{array}\right]A=EA$$
其中 $E$ 是由 $I$ 交换第 1 行和第 2 行得到的初等矩阵。

c. $A$ 的第 3 行乘以 5 后：
$$\left[\begin{array}{c}{\text{row}}_1(A)\\ {\text{row}}_2(A)\\ 5\cdot {\text{row}}_3(A)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\text{row}}_1(I)\cdot A\\ {\text{row}}_2(I)\cdot A\\ 5\cdot {\text{row}}_3(I)\cdot A\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\text{row}}_1(I)\\ {\text{row}}_2(I)\\ 5\cdot {\text{row}}_3(I)\end{array}\right]A=EA$$
其中 $E$ 是由 $I$ 的第 3 行乘以 5 得到的初等矩阵。

结论：
a. 对任意 $i$，${\text{row}}_i(A)={\text{row}}_i(I)\cdot A$ 成立。
b. 交换行操作可表示为初等矩阵左乘。
c. 行缩放操作可表示为初等矩阵左乘。

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28. 证明：若 $A$ 的第 3 行换成 ${\text{row}}_3(A)-4\cdot {\text{row}}_1(A)$，则结果可以写成 $EA$，其中 $E$ 是由 $I$ 的第 3 行换成 ${\text{row}}_3(I)-4\cdot {\text{row}}_1(I)$ 所得的初等矩阵。

解答：
变换后的矩阵为：
$$\left[\begin{array}{c}{\text{row}}_1(A)\\ {\text{row}}_2(A)\\ {\text{row}}_3(A)-4\cdot {\text{row}}_1(A)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\text{row}}_1(I)\cdot A\\ {\text{row}}_2(I)\cdot A\\ {\text{row}}_3(I)\cdot A-4\cdot {\text{row}}_1(I)\cdot A\end{array}\right]$$

$$=\left[\begin{array}{c}{\text{row}}_1(I)\\ {\text{row}}_2(I)\\ {\text{row}}_3(I)-4\cdot {\text{row}}_1(I)\end{array}\right]A=EA$$

其中 $E$ 是由 $I$ 的第 3 行替换为 ${\text{row}}_3(I)-4\cdot {\text{row}}_1(I)$ 得到的初等矩阵。

结论：
行替换操作可表示为初等矩阵左乘。

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29. 求 $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 7\end{array}\right]$ 的逆

解答：
构造增广矩阵 $[A\mid I]$：
$$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 4& 7& 0& 1\end{array}\right]$$
行变换过程：

1. $R_2\leftarrow R_2-4R_1$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -1& -4& 1\end{array}\right]$$

2. $R_2\leftarrow -R_2$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& 1& 4& -1\end{array}\right]$$

3. $R_1\leftarrow R_1-2R_2$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -7& 2\\ 0& 1& 4& -1\end{array}\right]$$

结论：
$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-7& 2\\ 4& -1\end{array}\right]$

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30. 求 $\left[\begin{array}{cc}5& 10\\ 4& 7\end{array}\right]$ 的逆

解答：
构造增广矩阵 $[A\mid I]$：
$$\left[\begin{array}{cccc}5& 10& 1& 0\\ 4& 7& 0& 1\end{array}\right]$$
行变换过程：

1. $R_1\leftarrow \frac{1}{5}{R}_1$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1/5& 0\\ 4& 7& 0& 1\end{array}\right]$$

2. $R_2\leftarrow R_2-4R_1$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1/5& 0\\ 0& -1& -4/5& 1\end{array}\right]$$

3. $R_2\leftarrow -R_2$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1/5& 0\\ 0& 1& 4/5& -1\end{array}\right]$$

4. $R_1\leftarrow R_1-2R_2$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -7/5& 2\\ 0& 1& 4/5& -1\end{array}\right]$$

结论：
$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-7/5& 2\\ 4/5& -1\end{array}\right]$

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31. 求 $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ -3& 1& 4\\ 2& -3& 4\end{array}\right]$ 的逆

解答：
构造增广矩阵 $[A\mid I]$：
$$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& -2& 1& 0& 0\\ -3& 1& 4& 0& 1& 0\\ 2& -3& 4& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
行变换过程：

1. $R_2\leftarrow R_2+3R_1$：
   $$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& -2& 1& 0& 0\\ 0& 1& -2& 3& 1& 0\\ 2& -3& 4& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

2. $R_3\leftarrow R_3-2R_1$：
   $$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& -2& 1& 0& 0\\ 0& 1& -2& 3& 1& 0\\ 0& -3& 8& -2& 0& 1\end{array}\right]$$

3. $R_3\leftarrow R_3+3R_2$：
   $$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& -2& 1& 0& 0\\ 0& 1& -2& 3& 1& 0\\ 0& 0& 2& 7& 3& 1\end{array}\right]$$

4. $R_3\leftarrow \frac{1}{2}{R}_3$：
   $$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& -2& 1& 0& 0\\ 0& 1& -2& 3& 1& 0\\ 0& 0& 1& 7/2& 3/2& 1/2\end{array}\right]$$

5. $R_1\leftarrow R_1+2R_3$：
   $$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 8& 3& 1\\ 0& 1& -2& 3& 1& 0\\ 0& 0& 1& 7/2& 3/2& 1/2\end{array}\right]$$

6. $R_2\leftarrow R_2+2R_3$：
   $$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 8& 3& 1\\ 0& 1& 0& 10& 4& 1\\ 0& 0& 1& 7/2& 3/2& 1/2\end{array}\right]$$

结论：
$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}8& 3& 1\\ 10& 4& 1\\ 7/2& 3/2& 1/2\end{array}\right]$

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33. 利用本节算法求矩阵 $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$ 和 $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0\\ 1& 1& 1& 0\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right]$ 的逆。设 $A$ 是相应的 $n\times n$ 矩阵，$B$ 是它的逆，猜想 $B$ 的形式，然后证明 $AB=I$ 和 $BA=I$。

解答：
猜想：对于 $n\times n$ 下三角矩阵 $A$（对角线及以下为 1，其余为 0），其逆 $B$ 满足：

• $b_{jj}=1$
• $b_{j+1,j}=-1$
• 其余元素为 0

即 $B=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \cdots & 0\\ -1& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& -1& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$

证明：
设 ${\mathbf{a}}_j,{\mathbf{b}}_j,{\mathbf{e}}_j$ 分别为 $A,B,I$ 的第 $j$ 列。

• 对 $j=1,\dots ,n-1$：
  $$A{\mathbf{b}}_j=A({\mathbf{e}}_j-{\mathbf{e}}_{j+1})={\mathbf{a}}_j-{\mathbf{a}}_{j+1}={\mathbf{e}}_j$$
  因为 ${\mathbf{a}}_j$ 和 ${\mathbf{a}}_{j+1}$ 仅在第 $j$ 行不同（${\mathbf{a}}_j$ 有 1，${\mathbf{a}}_{j+1}$ 有 0）。

• 对 $j=n$：
  $$A{\mathbf{b}}_n=A{\mathbf{e}}_n={\mathbf{a}}_n={\mathbf{e}}_n$$

• 对 $BA=I$：
  $$B{\mathbf{a}}_j=B({\mathbf{e}}_1+\cdots +{\mathbf{e}}_j)={\mathbf{b}}_1+\cdots +{\mathbf{b}}_j=({\mathbf{e}}_1-{\mathbf{e}}_2)+({\mathbf{e}}_2-{\mathbf{e}}_3)+\cdots +({\mathbf{e}}_{j-1}-{\mathbf{e}}_j)+{\mathbf{e}}_j={\mathbf{e}}_j$$

结论：
$B$ 是 $A$ 的逆矩阵，满足 $AB=BA=I$。

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34. 重复 33 题的方法猜想 $A=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \cdots & 0\\ 1& 2& 0& \cdots & 0\\ 1& 2& 3& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 2& 3& \cdots & n\end{array}\right]$ 的逆 $B$，证明你的猜想是正确的。

解答：
猜想：$B$ 为对角矩阵，其中 $b_{jj}=\frac{1}{j}$，$b_{j+1,j}=-\frac{1}{j+1}$，其余元素为 0。
即 $B=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \cdots & 0\\ -1/2& 1/2& 0& \cdots & 0\\ 0& -1/3& 1/3& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1/n\end{array}\right]$

证明：
设 ${\mathbf{a}}_j,{\mathbf{b}}_j,{\mathbf{e}}_j$ 分别为 $A,B,I$ 的第 $j$ 列。

• 对 $j=1,\dots ,n-1$：
  $$A{\mathbf{b}}_j=A\left(\frac{1}{j}{\mathbf{e}}_j-\frac{1}{j+1}{\mathbf{e}}_{j+1}\right)=\frac{1}{j}{\mathbf{a}}_j-\frac{1}{j+1}{\mathbf{a}}_{j+1}={\mathbf{e}}_j$$
  因为 ${\mathbf{a}}_j=j({\mathbf{e}}_1+\cdots +{\mathbf{e}}_j)$，${\mathbf{a}}_{j+1}=(j+1)({\mathbf{e}}_1+\cdots +{\mathbf{e}}_{j+1})$。

• 对 $j=n$：
  $$A{\mathbf{b}}_n=A\left(\frac{1}{n}{\mathbf{e}}_n\right)=\frac{1}{n}{\mathbf{a}}_n={\mathbf{e}}_n$$

• 对 $BA=I$：
  $$B{\mathbf{a}}_j=B(j({\mathbf{e}}_1+\cdots +{\mathbf{e}}_j))=j(B{\mathbf{e}}_1+\cdots +B{\mathbf{e}}_j)=j\left(\frac{1}{j}{\mathbf{e}}_j\right)={\mathbf{e}}_j$$

结论：
$B$ 是 $A$ 的逆矩阵，满足 $AB=BA=I$。

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35. 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}-2& -7& -9\\ 2& 5& 6\\ 1& 3& 4\end{array}\right]$，求出 $A^{-1}$ 的第 3 列而不计算其他列。

解答：
$A^{-1}$ 的第 3 列是方程 $A\mathbf{x}={\mathbf{e}}_3$ 的解，其中 ${\mathbf{e}}_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$。
构造增广矩阵 $[A\mid {\mathbf{e}}_3]$：
$$\left[\begin{array}{cccc}-2& -7& -9& 0\\ 2& 5& 6& 0\\ 1& 3& 4& 1\end{array}\right]$$
行变换过程：

1. 交换 $R_1$ 和 $R_3$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 4& 1\\ 2& 5& 6& 0\\ -2& -7& -9& 0\end{array}\right]$$

2. $R_2\leftarrow R_2-2R_1$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 4& 1\\ 0& -1& -2& -2\\ -2& -7& -9& 0\end{array}\right]$$

3. $R_3\leftarrow R_3+2R_1$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 4& 1\\ 0& -1& -2& -2\\ 0& -1& -1& 2\end{array}\right]$$

4. $R_2\leftarrow -R_2$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 4& 1\\ 0& 1& 2& 2\\ 0& -1& -1& 2\end{array}\right]$$

5. $R_3\leftarrow R_3+R_2$：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 4& 1\\ 0& 1& 2& 2\\ 0& 0& 1& 4\end{array}\right]$$

6. 回代：
   $$x_3=4,x_2=2-2x_3=-6,x_1=1-3x_2-4x_3=3$$

结论：
$A^{-1}$ 的第 3 列是 $\left[\begin{array}{c}3\\ -6\\ 4\end{array}\right]$