线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章线性代数中的线性方程组 1.8 线性变换介绍(1)-优快云博客

练习题

设 $\mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^2, T(x) = Ax, A$ 为某个矩阵， $x$ 属于 $R5\mathbb{R}^5$ ， $A$ 应有几行几列？

解答：
对于线性变换 $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ ，若 $T (x) = A x$ ，则矩阵 $A$ 必须是 $\times n$ 矩阵。
这里定义域是 $R5\mathbb{R}^5$ ，所以 $n = 5$ ；余定义域是 $R2\mathbb{R}^2$ ，所以 $m = 2$ 。
$A$ 必须有 5 列，才能与 $R5\mathbb{R}^5$ 中的向量 $x$ 相乘；
$A$ 必须有 2 行，才能使结果 $A x$ 属于 $R2\mathbb{R}^2$ 。

结论：
$A$ 应有 2 行 5 列。

设 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ ，给出变换 $\mapsto Ax$ 的几何解释。

解答：
考虑向量 $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ ，则：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 \\ -x_2 \end{bmatrix}$
这意味着变换保持 $x_1$ 坐标不变，而将 $x_2$ 坐标取反。
例如，点 $(4, 1)$ 经过变换后变为 $(4, - 1)$ 。

结论：
变换 $\mapsto Ax$ 把点映射为它关于 $x_1$ 轴（或 $x$ 轴）的对称点。

由 0 到向量 $u$ 的线段是形如 $t u$ 的点的集合，其中 $\leq t \leq 1$ 。证明线性变换 $T$ 把这个线段变为 0 到 $T (u)$ 的线段。

解答：
设线段上的任意一点为 $x = t u$ ，其中 $\leq t \leq 1$ 。
由于 $T$ 是线性变换，根据线性变换的性质：
$T (t u) = tT (u)$
当 $t$ 从 0 变化到 1 时， $tT (u)$ 从 $0$ （当 $t = 0$ 时）变化到 $T (u)$ （当 $t = 1$ 时）。
因此， $T (x)$ 的集合是连接 $0$ 和 $T (u)$ 的线段。

结论：
线性变换 $T$ 把由 0 到 $u$ 的线段变为 0 到 $T (u)$ 的线段。

习题1.8

设 $\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ ，定义 $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ 为 $T (x) = A x$ ，求出 $\begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ 在 $T$ 下的像。

解答：
计算 $T (u) = A u$ ：
$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 + 0 \cdot (-3) \\ 0 \cdot 1 + 2 \cdot (-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -6 \end{bmatrix}$
计算 $T (v) = A v$ ：
$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2a \\ 2b \end{bmatrix}$

结论：
$\begin{bmatrix} 2 \\ -6 \end{bmatrix}$ ， $\begin{bmatrix} 2a \\ 2b \end{bmatrix}$

设 $\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -4 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$ ，定义 $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ 为 $T (x) = A x$ ，求 $T (u)$ 和 $T (v)$ 。

解答：
计算 $T (u) = A u$ ：
$\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \cdot 1 \\ \frac{1}{2} \cdot 0 \\ \frac{1}{2} \cdot (-4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix}$
计算 $T (v) = A v$ ：
$\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2}a \\ \frac{1}{2}b \\ \frac{1}{2}c \end{bmatrix}$

结论：
$\begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix}$ ， $\begin{bmatrix} \frac{1}{2}a \\ \frac{1}{2}b \\ \frac{1}{2}c \end{bmatrix}$

设 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ -2 & 1 & 6 \\ 3 & -2 & -5 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} -1 \\ 7 \\ -3 \end{bmatrix}$ ，定义 $T (x) = A x$ ，求出向量 $x$ 使 $T (x) = b$ ，并判断 $x$ 是否唯一。

解答：
增广矩阵 $\mid b] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & -1 \\ -2 & 1 & 6 & 7 \\ 3 & -2 & -5 & -3 \end{bmatrix}$
行变换过程：

$R2←R2+2R1R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1$ ， $R3←R3−3R1R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1$ ： $[10−2−101250−210]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
$R3←R3+2R2R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2$ ： $[10−2−1012500510]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 10 \end{bmatrix}$
$R3←15R3R_3 \leftarrow \frac{1}{5}R_3$ ： $[10−2−101250012]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$
$R1←R1+2R3R_1 \leftarrow R_1 + 2R_3$ ， $R2←R2−2R3R_2 \leftarrow R_2 - 2R_3$ ： $[100301010012]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

结论：
$\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ ，解唯一

设 $\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & -4 \\ 3 & -5 & -9 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 6 \\ -7 \\ -9 \end{bmatrix}$ ，定义 $T (x) = A x$ ，求出向量 $x$ 使 $T (x) = b$ ，并判断 $x$ 是否唯一。

解答：
增广矩阵 $\mid b] = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & -4 & -7 \\ 3 & -5 & -9 & -9 \end{bmatrix}$
行变换过程：

$R3←R3−3R1R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1$ ： $[1−32601−4−704−15−27]\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & -4 & -7 \\ 0 & 4 & -15 & -27 \end{bmatrix}$
$R3←R3−4R2R_3 \leftarrow R_3 - 4R_2$ ： $[1−32601−4−70011]\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & -4 & -7 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
$R1←R1+3R2R_1 \leftarrow R_1 + 3R_2$ ： $[10−10−1501−4−70011]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -10 & -15 \\ 0 & 1 & -4 & -7 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
$R1←R1+10R3R_1 \leftarrow R_1 + 10R_3$ ， $R2←R2+4R3R_2 \leftarrow R_2 + 4R_3$ ： $[100−5010−30011]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

结论：
$\begin{bmatrix} -5 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}$ ，解唯一

设 $\begin{bmatrix} 1 & -5 & -7 \\ -3 & 7 & 5 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} -2 \\ -2 \end{bmatrix}$ ，定义 $T (x) = A x$ ，求出向量 $x$ 使 $T (x) = b$ ，并判断 $x$ 是否唯一。

解答：
增广矩阵 $\mid b] = \begin{bmatrix} 1 & -5 & -7 & -2 \\ -3 & 7 & 5 & -2 \end{bmatrix}$
行变换过程：

$R2←R2+3R1R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1$ ： $[1−5−7−20−8−16−8]\begin{bmatrix} 1 & -5 & -7 & -2 \\ 0 & -8 & -16 & -8 \end{bmatrix}$
$R2←−18R2R_2 \leftarrow -\frac{1}{8}R_2$ ： $[1−5−7−20121]\begin{bmatrix} 1 & -5 & -7 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$
$R1←R1+5R2R_1 \leftarrow R_1 + 5R_2$ ： $[10330121]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

对应方程组：
$\begin{cases} x_1 + 3x_3 = 3 \\ x_2 + 2x_3 = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x_1 = 3 - 3x_3 \\ x_2 = 1 - 2x_3 \end{cases}$
其中 $x_3$ 为自由变量。

结论：
通解为 $\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ （ $x_3$ 为任意实数），解不唯一

设 $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 3 & -4 & 5 \\ 0 & 1 & 1 \\ -3 & 5 & -4 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 1 \\ 9 \\ 3 \\ -6 \end{bmatrix}$ ，定义 $T (x) = A x$ ，求出向量 $x$ 使 $T (x) = b$ ，并判断 $x$ 是否唯一。

解答：
增广矩阵 $\mid b] = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 3 & -4 & 5 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ -3 & 5 & -4 & -6 \end{bmatrix}$
行变换过程：

$R2←R2−3R1R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$ ， $R4←R4+3R1R_4 \leftarrow R_4 + 3R_1$ ： $[1−211022601130−1−1−3]\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -1 & -3 \end{bmatrix}$
$R2←12R2R_2 \leftarrow \frac{1}{2}R_2$ ： $[1−211011301130−1−1−3]\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -1 & -3 \end{bmatrix}$
$R3←R3−R2R_3 \leftarrow R_3 - R_2$ ， $R4←R4+R2R_4 \leftarrow R_4 + R_2$ ： $[1−211011300000000]\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
$R1←R1+2R2R_1 \leftarrow R_1 + 2R_2$ ： $[1037011300000000]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

对应方程组：
$\begin{cases} x_1 + 3x_3 = 7 \\ x_2 + x_3 = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x_1 = 7 - 3x_3 \\ x_2 = 3 - x_3 \end{cases}$
其中 $x_3$ 为自由变量。

结论：
通解为 $\begin{bmatrix} 7 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ （ $x_3$ 为任意实数），解不唯一

设 $A$ 是 $\times 5$ 矩阵，为了定义 $\mathbb{R}^a \to \mathbb{R}^b$ , $T (x) = A x$ ， $a$ 与 $b$ 应为多少？

解答：
对于线性变换 $T (x) = A x$ ，向量 $x$ 必须属于 $Rn\mathbb{R}^n$ ，其中 $n$ 是矩阵 $A$ 的列数，因此定义域 $Ra\mathbb{R}^a$ 要求 $a = n$ 。
这里 $A$ 是 $\times 5$ 矩阵，列数为 5，故 $a = 5$ 。
结果 $A x$ 的维度等于 $A$ 的行数，因此余定义域 $Rb\mathbb{R}^b$ 要求 $b$ 等于 $A$ 的行数。
$A$ 的行数为 6，故 $b = 6$ 。

结论：
$a = 5$ ， $b = 6$

为了定义从 $R4\mathbb{R}^4$ 到 $R5\mathbb{R}^5$ 的映射 $T (x) = A x$ ，矩阵 $A$ 应有几行几列？

解答：
定义域为 $R4\mathbb{R}^4$ ，说明输入向量 $x$ 有 4 个分量，因此矩阵 $A$ 必须有 4 列才能与 $x$ 相乘（即 $A$ 的列数等于定义域的维度）。
余定义域为 $R5\mathbb{R}^5$ ，说明输出向量 $A x$ 有 5 个分量，因此矩阵 $A$ 必须有 5 行（即 $A$ 的行数等于余定义域的维度）。

结论：
$A$ 应有 5 行 4 列

设 $\begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & -5 \\ 0 & 1 & -4 & 3 \\ 2 & -6 & 6 & -4 \end{bmatrix}$ ，求出 $R4\mathbb{R}^4$ 中的所有 $x$ ，它在变换 $\mapsto Ax$ 下映射为零向量。

解答：
增广矩阵 $\mid 0]$ 为：
$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & -5 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 3 & 0 \\ 2 & -6 & 6 & -4 & 0 \end{bmatrix}$
行变换过程：

$R3←R3−2R1R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1$ ：

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & -5 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 6 & 0 \end{bmatrix}$

$R3←R3−2R2R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2$ ：

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & -5 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$R1←R1+4R2R_1 \leftarrow R_1 + 4R_2$ （化为行最简形）：

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -9 & 7 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

对应方程组：
$\begin{cases} x_1 - 9x_3 + 7x_4 = 0 \\ x_2 - 4x_3 + 3x_4 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x_1 = 9x_3 - 7x_4 \\ x_2 = 4x_3 - 3x_4 \end{cases}$
其中 $x_3, x_4$ 为自由变量。

结论：
所有解为 $\begin{bmatrix} 9 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -7 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ ，其中 $\in \mathbb{R}$ 。

设 $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 2 \\ 1 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ -2 & 3 & 0 & 5 \end{bmatrix}$ ，求出 $R4\mathbb{R}^4$ 中的所有 $x$ ，它在变换 $\mapsto Ax$ 下映射为零向量。

解答：
增广矩阵 $\mid 0]$ 为：
$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & -4 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 5 & 0 \end{bmatrix}$
行变换过程：

$R2←R2−R1R_2 \leftarrow R_2 - R_1$ ， $R4←R4+2R1R_4 \leftarrow R_4 + 2R_1$ ：

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & -6 & -6 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 9 & 18 & 9 & 0 \end{bmatrix}$

$R2↔R3R_2 \leftrightarrow R_3$ ：

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & -3 & -6 & -6 & 0 \\ 0 & 9 & 18 & 9 & 0 \end{bmatrix}$

$R3←R3+3R2R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2$ ， $R4←R4−9R2R_4 \leftarrow R_4 - 9R_2$ ：

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -18 & 0 \end{bmatrix}$

$R4←R4+6R3R_4 \leftarrow R_4 + 6R_3$ ， $R3←13R3R_3 \leftarrow \frac{1}{3}R_3$ ：

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$R1←R1−2R3R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3$ ， $R2←R2−3R3R_2 \leftarrow R_2 - 3R_3$ ， $R1←R1−3R2R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2$ ：

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

对应方程组：
$\begin{cases} x_1 + 3x_3 = 0 \\ x_2 + 2x_3 = 0 \\ x_4 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x_1 = -3x_3 \\ x_2 = -2x_3 \\ x_4 = 0 \end{cases}$
其中 $x_3$ 为自由变量。

结论：
所有解为 $x_3 \begin{bmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ ，其中 $x3∈Rx_3 \in \mathbb{R}$ 。

设 $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ ， $A$ 为习题 9 中的矩阵， $b$ 是否属于线性变换 $\mapsto Ax$ 的值域？为什么？

解答：
考虑增广矩阵 $\mid b]$ ：
$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & -5 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & 3 & 1 \\ 2 & -6 & 6 & -4 & 0 \end{bmatrix}$
行变换过程：

$R3←R3−2R1R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1$ ：

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & -5 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & -8 & 6 & 2 \end{bmatrix}$

$R3←R3−2R2R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2$ ：

$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & -5 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

系统一致（无矛盾方程），因此方程 $A x = b$ 有解。

结论：
$b$ 属于线性变换 $\mapsto Ax$ 的值域，因为方程 $A x = b$ 有解。

设 $\begin{bmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}$ ， $A$ 为习题 10 中的矩阵， $b$ 是否属于线性变换 $\mapsto Ax$ 的值域？为什么？

解答：
考虑增广矩阵 $\mid b]$ ：
$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 3 & -4 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & -1 \\ -2 & 3 & 0 & 5 & 4 \end{bmatrix}$
行变换过程：

$R2←R2−R1R_2 \leftarrow R_2 - R_1$ ， $R4←R4+2R1R_4 \leftarrow R_4 + 2R_1$ ：

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & -6 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & -1 \\ 0 & 9 & 18 & 9 & 2 \end{bmatrix}$

$R2↔R3R_2 \leftrightarrow R_3$ ：

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & -6 & 4 \\ 0 & 9 & 18 & 9 & 2 \end{bmatrix}$

$R3←R3+3R2R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2$ ， $R4←R4−9R2R_4 \leftarrow R_4 - 9R_2$ ：

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -18 & 11 \end{bmatrix}$

$R4←R4+6R3R_4 \leftarrow R_4 + 6R_3$ ：

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 17 \end{bmatrix}$

最后一行表示 $0 = 17$ ，这是一个矛盾，因此系统不一致。

结论：
$b$ 不属于线性变换 $\mapsto Ax$ 的值域，因为方程 $A x = b$ 无解。

$\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ ，标出 $\begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix}$ 及其在 $T$ 下的像，并给出几何描述。

解答：
计算变换后的像：
$\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \\ -2 \end{bmatrix}, \quad T(v) = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -4 \end{bmatrix}$
在坐标系中， $u$ 与 $T (u)$ 、 $v$ 与 $T (v)$ 分别关于原点对称。

结论：
变换 $T$ 是关于原点的反射（或旋转 $π\pi$ 弧度的旋转变换）。

$\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ ，标出 $\begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix}$ 及其在 $T$ 下的像，并给出几何描述。

解答：
计算变换后的像：
$\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5}{2} \\ 1 \end{bmatrix}, \quad T(v) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$
在坐标系中， $T (u)$ 与 $T (v)$ 分别是 $u$ 与 $v$ 按比例缩小至原长的 $12\frac{1}{2}$ 。

结论：
变换 $T$ 是以原点为中心、缩放因子为 $12\frac{1}{2}$ 的均匀收缩变换。

$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ ，标出 $\begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix}$ 及其在 $T$ 下的像，并给出几何描述。

解答：
计算变换后的像：
$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad T(v) = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 4 \end{bmatrix}$
在坐标系中， $T (u)$ 与 $T (v)$ 的 $x_1$ 分量均为 0，仅保留 $x_2$ 分量。

结论：
变换 $T$ 是将向量投影到 $x_2$ 轴上的正交投影变换。

$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ ，标出 $\begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix}$ 及其在 $T$ 下的像，并给出几何描述。

解答：
计算变换后的像：
$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}, \quad T(v) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \end{bmatrix}$
在坐标系中， $T (u)$ 与 $T (v)$ 分别是 $u$ 与 $v$ 关于直线 $x_1 = x_2$ 的对称点。

结论：
变换 $T$ 是关于直线 $x_1 = x_2$ 的反射变换。

设 $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ 是线性变换，把 $\begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}$ 变为 $[21]\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ ，把 $\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$ 变为 $[−13]\begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}$ 。利用 $T$ 是线性变换的事实求出向量 $3 u$ , $2 v$ , $3 u + 2 v$ 在 $T$ 下的像。

解答：
由于 $T$ 是线性变换，满足 $T (c u) = c T (u)$ 和 $T (u + v) = T (u) + T (v)$ 。
计算 $T (3 u)$ ：
$3\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 3 \end{bmatrix}$
计算 $T (2 v)$ ：
$2\begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 6 \end{bmatrix}$
计算 $T (3 u + 2 v)$ ：
$\begin{bmatrix} 6 \\ 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 9 \end{bmatrix}$

结论：
$\begin{bmatrix} 6 \\ 3 \end{bmatrix}$ ， $\begin{bmatrix} -2 \\ 6 \end{bmatrix}$ ， $\begin{bmatrix} 4 \\ 9 \end{bmatrix}$

下图给出向量 $u, v, w$ 以及在线性变换 $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ 的作用下 $T (u)$ 和 $T (v)$ 的像。画出 $T (w)$ 的像。（提示：首先将 $w$ 写成 $u$ 和 $v$ 的线性组合。）

解答：
通过几何方法，画一条过 $w$ 且平行于 $v$ 的直线，以及一条过 $w$ 且平行于 $u$ 的直线，可估计 $w = u + 2 v$ 。
由于 $T$ 是线性变换，有 $T (w) = T (u + 2 v) = T (u) + 2 T (v)$ 。
在图像中定位 $T (u)$ 和 $2 T (v)$ ，并构造平行四边形来确定 $T (w)$ 的位置。

结论：
$T (w)$ 可通过构造以 $T (u)$ 和 $2 T (v)$ 为邻边的平行四边形的对角线来确定。

设 $e1=[10]e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ , $e2=[01]e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ , $y1=[25]y_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}$ , $y2=[−16]y_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 6 \end{bmatrix}$ ; $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ 是线性变换，把 $e_1$ 变为 $y_1$ ，把 $e_2$ 变为 $y_2$ 。求 $[5−3]\begin{bmatrix} 5 \\ -3 \end{bmatrix}$ 和 $[x1x2]\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ 的像。

解答：
首先，将 $[5−3]\begin{bmatrix} 5 \\ -3 \end{bmatrix}$ 表示为 $e_1$ 和 $e_2$ 的线性组合：
$[5−3]=5e1−3e2\begin{bmatrix} 5 \\ -3 \end{bmatrix} = 5e_1 - 3e_2$
利用线性变换的性质：
$T([5−3])=T(5e1−3e2)=5T(e1)−3T(e2)=5y1−3y2T\left(\begin{bmatrix} 5 \\ -3 \end{bmatrix}\right) = T(5e_1 - 3e_2) = 5T(e_1) - 3T(e_2) = 5y_1 - 3y_2$
$5\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix} - 3\begin{bmatrix} -1 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10+3 \\ 25-18 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 \\ 7 \end{bmatrix}$

对于一般向量 $[x1x2]\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ ：
$[x1x2]=x1e1+x2e2\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1e_1 + x_2e_2$
$T([x1x2])=T(x1e1+x2e2)=x1T(e1)+x2T(e2)=x1y1+x2y2T\left(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\right) = T(x_1e_1 + x_2e_2) = x_1T(e_1) + x_2T(e_2) = x_1y_1 + x_2y_2$
$x_1\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} -1 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 - x_2 \\ 5x_1 + 6x_2 \end{bmatrix}$

结论：
$T([5−3])=[137]T\left(\begin{bmatrix} 5 \\ -3 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 13 \\ 7 \end{bmatrix}$ ， $T([x1x2])=[2x1−x25x1+6x2]T\left(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 2x_1 - x_2 \\ 5x_1 + 6x_2 \end{bmatrix}$