1.2
练习题
1.
求出下列增广矩阵对应的方程组的通解：
[1−3−5001−1−1] \begin{bmatrix} 1 & -3 & -5 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \end{bmatrix} [10−31−5−10−1]
行变换过程：
- 将第一行替换为 R1+3R2R_1 + 3R_2R1+3R2：
[10−8−301−1−1] \begin{bmatrix} 1 & 0 & -8 & -3 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \end{bmatrix} [1001−8−1−3−1]
解集分析：
- 主元列：第 1 列、第 2 列 → 基本变量：x1,x2x_1, x_2x1,x2
- 非主元列：第 3 列 → 自由变量：x3x_3x3
通解表达式：
由行最简形得：
{x1−8x3=−3⇒x1=−3+8x3x2−x3=−1⇒x2=−1+x3
\begin{cases}
x_1 - 8x_3 = -3 \quad \Rightarrow \quad x_1 = -3 + 8x_3 \\
x_2 - x_3 = -1 \quad \Rightarrow \quad x_2 = -1 + x_3
\end{cases}
{x1−8x3=−3⇒x1=−3+8x3x2−x3=−1⇒x2=−1+x3
其中 x3x_3x3 为自由变量。
结论：
方程组的通解为
{x1=−3+8x3x2=−1+x3x3 是自由变量
\begin{cases}
x_1 = -3 + 8x_3 \\
x_2 = -1 + x_3 \\
x_3 \text{ 是自由变量}
\end{cases}
⎩⎨⎧x1=−3+8x3x2=−1+x3x3 是自由变量
2.
求出下列方程组的通解：
{x1−2x2−x3+3x4=0−2x1+4x2+5x3−5x4=33x1−6x2−6x3+8x4=2 \begin{cases} x_1 - 2x_2 - x_3 + 3x_4 = 0 \\ -2x_1 + 4x_2 + 5x_3 - 5x_4 = 3 \\ 3x_1 - 6x_2 - 6x_3 + 8x_4 = 2 \end{cases} ⎩⎨⎧x1−2x2−x3+3x4=0−2x1+4x2+5x3−5x4=33x1−6x2−6x3+8x4=2
增广矩阵：
[1−2−130−245−533−6−682]
\begin{bmatrix}
1 & -2 & -1 & 3 & 0 \\
-2 & 4 & 5 & -5 & 3 \\
3 & -6 & -6 & 8 & 2
\end{bmatrix}
1−23−24−6−15−63−58032
行变换过程：
-
将第二行替换为 R2+2R1R_2 + 2R_1R2+2R1：
[1−2−130003133−6−682] \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 3 \\ 3 & -6 & -6 & 8 & 2 \end{bmatrix} 103−20−6−13−6318032 -
将第三行替换为 R3−3R1R_3 - 3R_1R3−3R1：
[1−2−1300031300−3−12] \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & -1 & 2 \end{bmatrix} 100−200−13−331−1032 -
将第三行替换为 R3+R2R_3 + R_2R3+R2：
[1−2−1300031300005] \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} 100−200−130310035
矛盾分析：
第三行对应方程 0x1+0x2+0x3+0x4=50x_1 + 0x_2 + 0x_3 + 0x_4 = 50x1+0x2+0x3+0x4=5，即 0=50 = 50=5，为矛盾方程。
结论：
方程组不相容，无解。
3.
假设一个方程组的 4×74 \times 74×7 系数矩阵有 4 个主元。这个方程组是相容的吗？如果是相容的，有多少解？
分析过程：
- 系数矩阵为 4×74 \times 74×7，表示方程组有 4 个方程、7 个变量。
- 有 4 个主元 → 每行都有主元，无零行。
- 根据定理：若系数矩阵的行阶梯形中无零行，则增广矩阵的行阶梯形也不会有形如 [0 0 ⋯ 0 b][0\ 0\ \cdots\ 0\ b][0 0 ⋯ 0 b]（b≠0b \neq 0b=0）的行。
相容性判断：
- 由于系数矩阵有 4 个主元，其行阶梯形无零行，因此增广矩阵也不会产生矛盾方程。
- 方程组相容。
解的数量：
- 主元数 = 4 → 基本变量数 = 4
- 自由变量数 = 总变量数 - 基本变量数 = 7 - 4 = 3
- 有 3 个自由变量 → 方程组有无穷多解。
结论：
方程组相容，且有无穷多解。
习题 1.2
1.
确定哪些矩阵是简化阶梯形，哪些仅是阶梯形：
a.
[100001000011]
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{bmatrix}
100010001001
分析：
- 每个主元为 1（第 1、2、3 列）
- 每个主元是其所在列中唯一的非零元素
- 满足简化阶梯形所有条件
结论：是简化阶梯形。
b.
[101001100001]
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
100010110001
分析：
- 每个主元为 1（第 1、2、4 列）
- 每个主元是其所在列中唯一的非零元素
- 满足简化阶梯形所有条件
结论：是简化阶梯形。
c.
[1100011000000001]
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
1000110001000001
分析：
- 第 4 行非零，但位于第 3 行（零行）下方，违反阶梯形条件
结论：既不是阶梯形，也不是简化阶梯形。
d.
[11011020220003300004]
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 0 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 3 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 4
\end{bmatrix}
10001200000012301234
分析：
- 主元位置：第 1、2、4、5 列（值分别为 1, 2, 3, 4）
- 主元不为 1，不满足简化阶梯形条件
- 满足阶梯形条件（主元逐行右移，下方元素为零）
结论：仅是阶梯形。
2.
确定哪些矩阵是简化阶梯形，哪些仅是阶梯形：
a.
[100000110001]
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
100000010011
分析：
- 主元位置：第 1 行第 1 列、第 2 行第 3 列、第 3 行第 4 列
- 每个主元为 1，且主元所在列中其他元素均为 0
结论：是简化阶梯形。
b.
[110001100011]
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{bmatrix}
100110011001
分析：
- 主元位置：第 1 行第 1 列、第 2 行第 2 列、第 3 行第 3 列
- 主元均为 1，但主元上方存在非零元素（如第 1 行第 2 列的 1）
结论：仅是阶梯形。
c.
[1000110001100101]
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1
\end{bmatrix}
1100011100100001
分析：
- 第 2 行第 1 列为 1，位于第 1 行主元下方，违反阶梯形条件（主元必须逐行右移）
结论：既不是阶梯形，也不是简化阶梯形。
d.
[01111002220000300000]
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
00001000120012001230
分析：
- 主元位置：第 1 行第 2 列（1）、第 2 行第 3 列（2）、第 3 行第 5 列（3）
- 主元不全为 1，不满足简化阶梯形条件
- 满足阶梯形条件（主元逐行右移，下方元素为零）
结论：仅是阶梯形。
3.
行化简矩阵为简化阶梯形，并标出主元位置：
[123445676789] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 5 & 6 & 7 \\ 6 & 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} 146257368479
行变换过程：
-
将第二行替换为 R2−4R1R_2 - 4R_1R2−4R1：
[12340−3−6−96789] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -3 & -6 & -9 \\ 6 & 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} 1062−373−684−99 -
将第三行替换为 R3−6R1R_3 - 6R_1R3−6R1：
[12340−3−6−90−5−10−15] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -3 & -6 & -9 \\ 0 & -5 & -10 & -15 \end{bmatrix} 1002−3−53−6−104−9−15 -
将第二行缩放为 −13R2-\frac{1}{3}R_2−31R2：
[123401230−5−10−15] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & -5 & -10 & -15 \end{bmatrix} 10021−532−1043−15 -
将第三行替换为 R3+5R2R_3 + 5R_2R3+5R2：
[123401230000] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 100210320430 -
将第一行替换为 R1−2R2R_1 - 2R_2R1−2R2：
[10−1−201230000] \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 100010−120−230
主元位置与主元列：
-
原始矩阵：
[123445676789]主元列：第 1 列、第 2 列 \begin{bmatrix} \boxed{1} & 2 & 3 & 4 \\ 4 & \boxed{5} & 6 & 7 \\ 6 & 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \quad \text{主元列：第 1 列、第 2 列} 146257368479主元列：第 1 列、第 2 列 -
简化阶梯形：
[10−1−201230000]主元列：第 1 列、第 2 列 \begin{bmatrix} \boxed{1} & 0 & -1 & -2 \\ 0 & \boxed{1} & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \text{主元列：第 1 列、第 2 列} 100010−120−230主元列：第 1 列、第 2 列
结论：
主元列是第 1 列和第 2 列。
4.
行化简矩阵为简化阶梯形，并标出主元位置：
[135735795791] \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 \\ 3 & 5 & 7 & 9 \\ 5 & 7 & 9 & 1 \end{bmatrix} 135357579791
行变换过程：
-
将第二行替换为 R2−3R1R_2 - 3R_1R2−3R1：
[13570−4−8−125791] \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 \\ 0 & -4 & -8 & -12 \\ 5 & 7 & 9 & 1 \end{bmatrix} 1053−475−897−121 -
将第三行替换为 R3−5R1R_3 - 5R_1R3−5R1：
[13570−4−8−120−8−16−34] \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 \\ 0 & -4 & -8 & -12 \\ 0 & -8 & -16 & -34 \end{bmatrix} 1003−4−85−8−167−12−34 -
将第二行缩放为 −14R2-\frac{1}{4}R_2−41R2：
[135701230−8−16−34] \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & -8 & -16 & -34 \end{bmatrix} 10031−852−1673−34 -
将第三行替换为 R3+8R2R_3 + 8R_2R3+8R2：
[13570123000−10] \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -10 \end{bmatrix} 10031052073−10 -
将第三行缩放为 −110R3-\frac{1}{10}R_3−101R3：
[135701230001] \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 100310520731 -
将第二行替换为 R2−3R3R_2 - 3R_3R2−3R3：
[135701200001] \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 100310520701 -
将第一行替换为 R1−7R3R_1 - 7R_3R1−7R3：
[135001200001] \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 100310520001 -
将第一行替换为 R1−3R2R_1 - 3R_2R1−3R2：
[10−1001200001] \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 100010−120001
主元位置与主元列：
-
原始矩阵：
[135735795791]主元列：第 1 列、第 2 列、第 4 列 \begin{bmatrix} \boxed{1} & 3 & 5 & 7 \\ 3 & \boxed{5} & 7 & 9 \\ 5 & 7 & 9 & \boxed{1} \end{bmatrix} \quad \text{主元列：第 1 列、第 2 列、第 4 列} 135357579791主元列：第 1 列、第 2 列、第 4 列 -
简化阶梯形：
[10−1001200001]主元列：第 1 列、第 2 列、第 4 列 \begin{bmatrix} \boxed{1} & 0 & -1 & 0 \\ 0 & \boxed{1} & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \boxed{1} \end{bmatrix} \quad \text{主元列：第 1 列、第 2 列、第 4 列} 100010−120001主元列：第 1 列、第 2 列、第 4 列
结论：
主元列是第 1 列、第 2 列和第 4 列。
5.
给出一个非零 2×22 \times 22×2 矩阵可能的阶梯形，用符号 ■\blacksquare■（非零元素）、∗*∗（任意元素）和 000 表示。
可能的阶梯形：
-
秩为 2（满秩）：
[■∗0■] \begin{bmatrix} \blacksquare & * \\ 0 & \blacksquare \end{bmatrix} [■0∗■]- 两个主元，分别位于第 1 列和第 2 列。
-
秩为 1（主元在第 1 列）：
[■∗00] \begin{bmatrix} \blacksquare & * \\ 0 & 0 \end{bmatrix} [■0∗0]- 仅一个主元，位于第 1 列。
-
秩为 1（主元在第 2 列）：
[0■00] \begin{bmatrix} 0 & \blacksquare \\ 0 & 0 \end{bmatrix} [00■0]- 仅一个主元，位于第 2 列。
说明：
- 非零矩阵必须至少有一个 ■\blacksquare■。
- 阶梯形要求：非零行在零行之上，主元逐行右移，主元下方元素为零。
- 不存在其他可能形式（例如，[00■∗]\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \blacksquare & * \end{bmatrix}[0■0∗] 不符合阶梯形定义）。
6.
对一个非零 3×23 \times 23×2 矩阵，重复习题 5。
可能的阶梯形：
-
秩为 2：
[■∗0■00] \begin{bmatrix} \blacksquare & * \\ 0 & \blacksquare \\ 0 & 0 \end{bmatrix} ■00∗■0- 两个主元，分别位于第 1 列和第 2 列。
-
秩为 1（主元在第 1 列）：
[■∗0000] \begin{bmatrix} \blacksquare & * \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} ■00∗00- 仅一个主元，位于第 1 列。
-
秩为 1（主元在第 2 列）：
[0■0000] \begin{bmatrix} 0 & \blacksquare \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} 000■00- 仅一个主元，位于第 2 列。
说明：
- 3×23 \times 23×2 矩阵最多有 2 个主元（受列数限制）。
- 所有形式均满足阶梯形定义：非零行在零行之上，主元逐行右移。
- 不存在秩为 3 的情况（因列数不足）。
7.
增广矩阵：
[13473976] \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 & 7 \\ 3 & 9 & 7 & 6 \end{bmatrix} [13394776]
行变换过程：
-
R2←R2−3R1R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1R2←R2−3R1：
[134700−5−15] \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & -5 & -15 \end{bmatrix} [10304−57−15] -
R2←−15R2R_2 \leftarrow -\frac{1}{5}R_2R2←−51R2：
[13470013] \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} [10304173] -
R1←R1−4R2R_1 \leftarrow R_1 - 4R_2R1←R1−4R2：
[130−50013] \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} [103001−53]
通解：
-
主元列：第 1 列、第 3 列 → 基本变量：x1,x3x_1, x_3x1,x3
-
自由变量：x2x_2x2（令 x2=sx_2 = sx2=s）
-
方程组：
{x1=−5−3sx3=3 \begin{cases} x_1 = -5 - 3s \\ x_3 = 3 \end{cases} {x1=−5−3sx3=3
向量形式：
$$
\begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} -5 \ 0 \ 3 \end{bmatrix}
- s \begin{bmatrix} -3 \ 1 \ 0 \end{bmatrix}, \quad s \in \mathbb{R}
$$
8.
增广矩阵：
[140727010] \begin{bmatrix} 1 & 4 & 0 & 7 \\ 2 & 7 & 0 & 10 \end{bmatrix} [124700710]
行变换过程：
-
R2←R2−2R1R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1R2←R2−2R1：
[14070−10−4] \begin{bmatrix} 1 & 4 & 0 & 7 \\ 0 & -1 & 0 & -4 \end{bmatrix} [104−1007−4] -
R2←−R2R_2 \leftarrow -R_2R2←−R2：
[14070104] \begin{bmatrix} 1 & 4 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \end{bmatrix} [10410074] -
R1←R1−4R2R_1 \leftarrow R_1 - 4R_2R1←R1−4R2：
[100−90104] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \end{bmatrix} [100100−94]
通解：
-
主元列：第 1 列、第 2 列 → 基本变量：x1,x2x_1, x_2x1,x2
-
自由变量：x3x_3x3（令 x3=tx_3 = tx3=t）
-
方程组：
{x1=−9x2=4 \begin{cases} x_1 = -9 \\ x_2 = 4 \end{cases} {x1=−9x2=4
向量形式：
$$
\begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} -9 \ 4 \ 0 \end{bmatrix}
- t \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}
$$
9.
增广矩阵：
[01−651−27−6] \begin{bmatrix} 0 & 1 & -6 & 5 \\ 1 & -2 & 7 & -6 \end{bmatrix} [011−2−675−6]
行变换过程：
-
R1↔R2R_1 \leftrightarrow R_2R1↔R2：
[1−27−601−65] \begin{bmatrix} 1 & -2 & 7 & -6 \\ 0 & 1 & -6 & 5 \end{bmatrix} [10−217−6−65] -
R1←R1+2R2R_1 \leftarrow R_1 + 2R_2R1←R1+2R2：
[10−5401−65] \begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 & 4 \\ 0 & 1 & -6 & 5 \end{bmatrix} [1001−5−645]
通解：
-
主元列：第 1 列、第 2 列 → 基本变量：x1,x2x_1, x_2x1,x2
-
自由变量：x3x_3x3（令 x3=sx_3 = sx3=s）
-
方程组：
{x1=4+5sx2=5+6s \begin{cases} x_1 = 4 + 5s \\ x_2 = 5 + 6s \end{cases} {x1=4+5sx2=5+6s
向量形式：
$$
\begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 4 \ 5 \ 0 \end{bmatrix}
- s \begin{bmatrix} 5 \ 6 \ 1 \end{bmatrix}, \quad s \in \mathbb{R}
$$
10.
增广矩阵：
[1−2−133−6−22] \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 3 \\ 3 & -6 & -2 & 2 \end{bmatrix} [13−2−6−1−232]
行变换过程：
-
将第二行替换为 R2−3R1R_2 - 3R_1R2−3R1：
[1−2−13001−7] \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -7 \end{bmatrix} [10−20−113−7] -
将第一行替换为 R1+R2R_1 + R_2R1+R2：
[1−20−4001−7] \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -7 \end{bmatrix} [10−2001−4−7]
通解分析：
-
主元列：第 1 列、第 3 列 → 基本变量：x1,x3x_1, x_3x1,x3
-
自由变量：x2x_2x2（令 x2=tx_2 = tx2=t）
-
方程组：
{x1−2x2=−4x3=−7 \begin{cases} x_1 - 2x_2 = -4 \\ x_3 = -7 \end{cases} {x1−2x2=−4x3=−7
向量形式通解：
$$
\begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} -4 \ 0 \ -7 \end{bmatrix}
- t \begin{bmatrix} 2 \ 1 \ 0 \end{bmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}
$$
11.
增广矩阵：
[3−420−912−60−68−40] \begin{bmatrix} 3 & -4 & 2 & 0 \\ -9 & 12 & -6 & 0 \\ -6 & 8 & -4 & 0 \end{bmatrix} 3−9−6−41282−6−4000
行变换过程：
-
R2←R2+3R1R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1R2←R2+3R1，R3←R3+2R1R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1R3←R3+2R1：
[3−42000000000] \begin{bmatrix} 3 & -4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 300−400200000 -
R1←13R1R_1 \leftarrow \frac{1}{3}R_1R1←31R1：
[1−4323000000000] \begin{bmatrix} 1 & -\frac{4}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 100−34003200000
通解：
-
主元列：第 1 列 → 基本变量：x1x_1x1
-
自由变量：x2,x3x_2, x_3x2,x3（令 x2=s,x3=tx_2 = s, x_3 = tx2=s,x3=t）
-
方程组：
x1=43s−23t x_1 = \frac{4}{3}s - \frac{2}{3}t x1=34s−32t
向量形式：
$$
\begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix}
= s \begin{bmatrix} \frac{4}{3} \ 1 \ 0 \end{bmatrix}
- t \begin{bmatrix} -\frac{2}{3} \ 0 \ 1 \end{bmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}
$$
12.
增广矩阵：
[1−7065001−2−3−17−427] \begin{bmatrix} 1 & -7 & 0 & 6 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & -3 \\ -1 & 7 & -4 & 2 & 7 \end{bmatrix} 10−1−70701−46−225−37
行变换过程：
-
R3←R3+R1R_3 \leftarrow R_3 + R_1R3←R3+R1：
[1−7065001−2−300−4812] \begin{bmatrix} 1 & -7 & 0 & 6 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & -4 & 8 & 12 \end{bmatrix} 100−70001−46−285−312 -
R3←R3+4R2R_3 \leftarrow R_3 + 4R_2R3←R3+4R2：
[1−7065001−2−300000] \begin{bmatrix} 1 & -7 & 0 & 6 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 100−7000106−205−30
通解：
-
主元列：第 1 列、第 3 列 → 基本变量：x1,x3x_1, x_3x1,x3
-
自由变量：x2,x4x_2, x_4x2,x4（令 x2=s,x4=tx_2 = s, x_4 = tx2=s,x4=t）
-
方程组：
{x1=5+7s−6tx3=−3+2t \begin{cases} x_1 = 5 + 7s - 6t \\ x_3 = -3 + 2t \end{cases} {x1=5+7s−6tx3=−3+2t
向量形式：
$$
\begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 5 \ 0 \ -3 \ 0 \end{bmatrix}
- s \begin{bmatrix} 7 \ 1 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}
- t \begin{bmatrix} -6 \ 0 \ 2 \ 1 \end{bmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}
$$
13.
增广矩阵：
[1−30−10−20100−41000194000000] \begin{bmatrix} 1 & -3 & 0 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 9 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 1000−31000000−10100−490−2140
通解：
-
主元列：第 1 列、第 2 列、第 4 列 → 基本变量：x1,x2,x4x_1, x_2, x_4x1,x2,x4
-
自由变量：x3,x5x_3, x_5x3,x5（令 x3=s,x5=tx_3 = s, x_5 = tx3=s,x5=t）
-
方程组：
{x1=5+3tx2=1+4tx4=4−9t \begin{cases} x_1 = 5 + 3t \\ x_2 = 1 + 4t \\ x_4 = 4 - 9t \end{cases} ⎩⎨⎧x1=5+3tx2=1+4tx4=4−9t
向量形式：
$$
\begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \ x_5 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 5 \ 1 \ 0 \ 4 \ 0 \end{bmatrix}
- s \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}
- t \begin{bmatrix} 3 \ 4 \ 0 \ -9 \ 1 \end{bmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}
$$
14.
增广矩阵：
[12−5−60−501−6−302000010000000] \begin{bmatrix} 1 & 2 & -5 & -6 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & -6 & -3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 10002100−5−600−6−3000010−5200
通解：
-
主元列：第 1 列、第 2 列、第 5 列 → 基本变量：x1,x2,x5x_1, x_2, x_5x1,x2,x5
-
自由变量：x3,x4x_3, x_4x3,x4（令 x3=s,x4=tx_3 = s, x_4 = tx3=s,x4=t）
-
方程组：
{x1=−9−7sx2=2+6s+3tx5=0 \begin{cases} x_1 = -9 - 7s \\ x_2 = 2 + 6s + 3t \\ x_5 = 0 \end{cases} ⎩⎨⎧x1=−9−7sx2=2+6s+3tx5=0
向量形式：
$$
\begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \ x_5 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} -9 \ 2 \ 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}
- s \begin{bmatrix} -7 \ 6 \ 1 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}
- t \begin{bmatrix} 0 \ 3 \ 0 \ 1 \ 0 \end{bmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}
$$
15.
用符号 ■\blacksquare■（主元）、∗*∗（任意元素）和 000 表示阶梯形矩阵，判断方程组相容性及解的唯一性：
a.
[■∗∗∗0■∗∗00■0]
\begin{bmatrix}
\blacksquare & * & * & * \\
0 & \blacksquare & * & * \\
0 & 0 & \blacksquare & 0
\end{bmatrix}
■00∗■0∗∗■∗∗0
分析：
- 主元列：第 1、2、3 列 → 基本变量：x1,x2,x3x_1, x_2, x_3x1,x2,x3
- 增广列（第 4 列）无主元，无矛盾方程
- 无自由变量
结论：方程组相容，且有唯一解。
b.
[0■∗∗∗00■∗∗0000■]
\begin{bmatrix}
0 & \blacksquare & * & * & * \\
0 & 0 & \blacksquare & * & * \\
0 & 0 & 0 & 0 & \blacksquare
\end{bmatrix}
000■00∗■0∗∗0∗∗■
分析：
- 最后一列（增广部分）存在主元 ■\blacksquare■
- 对应方程 0=■0 = \blacksquare0=■（非零），矛盾
结论：方程组不相容。
16.
用符号 ■\blacksquare■、∗*∗ 和 000 表示阶梯形矩阵，判断方程组相容性及解的唯一性： =
a.
[■∗∗0■∗00■]
\begin{bmatrix}
\blacksquare & * & * \\
0 & \blacksquare & * \\
0 & 0 & \blacksquare
\end{bmatrix}
■00∗■0∗∗■
分析：
- 主元列：第 1、2、3 列 → 基本变量：x1,x2,x3x_1, x_2, x_3x1,x2,x3
- 无自由变量，无矛盾方程
结论：方程组相容，且有唯一解。
b.
[■∗∗∗∗00■∗∗000■∗00000]
\begin{bmatrix}
\blacksquare & * & * & * & * \\
0 & 0 & \blacksquare & * & * \\
0 & 0 & 0 & \blacksquare & * \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
■000∗000∗■00∗∗■0∗∗∗0
分析：
- 主元列：第 1、3、4 列 → 基本变量：x1,x3,x4x_1, x_3, x_4x1,x3,x4
- 自由变量：x2x_2x2
- 无矛盾方程
结论：方程组相容，且有无穷多解（因存在自由变量 x2x_2x2）。
17.
确定 hhh 的值，使增广矩阵对应相容线性方程组：
[23h467] \begin{bmatrix} 2 & 3 & h \\ 4 & 6 & 7 \end{bmatrix} [2436h7]
行变换过程：
- 将第二行替换为 R2−2R1R_2 - 2R_1R2−2R1：
[23h007−2h] \begin{bmatrix} 2 & 3 & h \\ 0 & 0 & 7 - 2h \end{bmatrix} [2030h7−2h]
相容性分析：
- 若 7−2h≠07 - 2h \neq 07−2h=0，则第二行对应方程 0=7−2h0 = 7 - 2h0=7−2h，矛盾。
- 若 7−2h=07 - 2h = 07−2h=0，即 h=72h = \frac{7}{2}h=27，则第二行全零，方程组相容。
结论：
当且仅当 h=72h = \frac{7}{2}h=27 时，方程组相容。
18.
确定 hhh 的值，使增广矩阵对应相容线性方程组：
[1−3−25h−7] \begin{bmatrix} 1 & -3 & -2 \\ 5 & h & -7 \end{bmatrix} [15−3h−2−7]
行变换过程：
- 将第二行替换为 R2−5R1R_2 - 5R_1R2−5R1：
[1−3−20h+153] \begin{bmatrix} 1 & -3 & -2 \\ 0 & h + 15 & 3 \end{bmatrix} [10−3h+15−23]
相容性分析：
- 若 h+15=0h + 15 = 0h+15=0（即 h=−15h = -15h=−15），则第二行变为 [0 0 3][0\ 0\ 3][0 0 3]，对应方程 0=30 = 30=3，矛盾。
- 若 h+15≠0h + 15 \neq 0h+15=0，则方程组相容（可通过回代求解）。
结论：
当且仅当 h≠−15h \neq -15h=−15 时，方程组相容。
19.
方程组：
{x1+hx2=24x1+8x2=k \begin{cases} x_1 + hx_2 = 2 \\ 4x_1 + 8x_2 = k \end{cases} {x1+hx2=24x1+8x2=k
增广矩阵：
[1h248k] \begin{bmatrix} 1 & h & 2 \\ 4 & 8 & k \end{bmatrix} [14h82k]
行变换过程：
- R2←R2−4R1R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1R2←R2−4R1：
[1h208−4hk−8] \begin{bmatrix} 1 & h & 2 \\ 0 & 8-4h & k-8 \end{bmatrix} [10h8−4h2k−8]
解的情况分析：
- (a) 无解：当 h=2h = 2h=2 且 k≠8k \neq 8k=8
（此时第二行对应方程 0=k−8≠00 = k-8 \neq 00=k−8=0，矛盾） - (b) 唯一解：当 h≠2h \neq 2h=2
（此时系数矩阵有 2 个主元，无自由变量） - © 多解：当 h=2h = 2h=2 且 k=8k = 8k=8
（此时第二行为零行，x2x_2x2 为自由变量）
20.
方程组：
{x1+3x2=23x1+hx2=k \begin{cases} x_1 + 3x_2 = 2 \\ 3x_1 + hx_2 = k \end{cases} {x1+3x2=23x1+hx2=k
增广矩阵：
[1323hk] \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 3 & h & k \end{bmatrix} [133h2k]
行变换过程：
- R2←R2−3R1R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1R2←R2−3R1：
[1320h−9k−6] \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & h-9 & k-6 \end{bmatrix} [103h−92k−6]
解的情况分析：
- (a) 无解：当 h=9h = 9h=9 且 k≠6k \neq 6k=6
（此时第二行对应方程 0=k−6≠00 = k-6 \neq 00=k−6=0，矛盾） - (b) 唯一解：当 h≠9h \neq 9h=9
（此时系数矩阵有 2 个主元，无自由变量） - © 多解：当 h=9h = 9h=9 且 k=6k = 6k=6
（此时第二行为零行，x2x_2x2 为自由变量）
21.
判断下列命题的真假：
a. 某些矩阵只要用不同的行变换次序就可化简为不止一个简化阶梯形矩阵。
False。根据定理，简化阶梯形矩阵是唯一的，与行变换次序无关。
b. 行简化算法只能用于线性方程组的增广矩阵。
False。行简化算法适用于任何矩阵，包括系数矩阵和增广矩阵。
c. 线性方程组中的基本变量是系数矩阵中主元列对应的变量。
True。基本变量的定义即为系数矩阵中主元列所对应的变量。
d. 求线性方程组的解集的参数表示就是解这个方程组。
False。参数表示是解方程组的一种方法，但解方程组还包括其他方法（如代入法）。
e. 若某个增广矩阵的阶梯形的一行是 [0 0 0 5 0][0\ 0\ 0\ 5\ 0][0 0 0 5 0]，则对应的线性方程组是不相容的。
False。该行对应方程 5x4=05x_4 = 05x4=0，即 x4=0x_4 = 0x4=0，不导致矛盾。只有当出现 0=b0 = b0=b（b≠0b \neq 0b=0）时才不相容。
22.
判断下列命题的真假：
a. 矩阵的阶梯形是唯一的。
False。只有简化阶梯形是唯一的，普通阶梯形可能有多种形式。
b. 若增广矩阵的每一行都包含一个主元，则相应的方程组是相容的。
False。若增广列是主元列（即存在 [0 ⋯ 0 1][0\ \cdots\ 0\ 1][0 ⋯ 0 1] 形式的行），则方程组不相容。
c. 化简矩阵为阶梯形被称为行化简过程的向前步骤。
True。行化简过程分为：向前步骤（化为阶梯形）和向后步骤（化为简化阶梯形）。
d. 当方程组具有自由变量时，解集一定包含许多解。
False。若方程组不相容，即使有自由变量，解集也为空集。
e. 方程组的通解是所有解的一个显式表示。
True。通解通过参数表示显式地描述了所有可能的解。
23.
设一个方程组是 3×53 \times 53×5 矩阵，且有 3 个主元列。该方程组是否相容？为什么？
分析：
- 3×53 \times 53×5 矩阵表示 3 个方程、5 个变量（含增广列）。
- 有 3 个主元列 → 系数矩阵有 3 个主元（每行一个）。
- 由于主元数 = 方程数，增广矩阵不会出现形如 [0 0 ⋯ 0 b][0\ 0\ \cdots\ 0\ b][0 0 ⋯ 0 b]（b≠0b \neq 0b=0）的行。
结论：
方程组相容。因为系数矩阵有 3 个主元，意味着增广矩阵的行阶梯形中无矛盾方程。
24.
设一个线性方程组的 3×53 \times 53×5 增广矩阵的第 5 列是主元列。该方程组是否相容？为什么？
分析：
- 3×53 \times 53×5 增广矩阵表示 3 个方程、4 个变量（第 5 列为增广列）。
- 若第 5 列是主元列 → 存在一行形如 [0 0 0 0 1][0\ 0\ 0\ 0\ 1][0 0 0 0 1]，对应方程 0=10 = 10=1，矛盾。
结论：
方程组不相容。因为增广列是主元列，表明存在矛盾方程。
25.
设一个线性方程组的系数矩阵每行有一个主元位置，说明为什么方程组是相容的。
分析：
- 系数矩阵每行有主元 → 每行非零，无零行。
- 增广矩阵的行阶梯形中，主元位置不会出现在增广列，因此无矛盾方程。
结论：
方程组相容。因为系数矩阵有主元行数等于方程数，增广矩阵不会产生矛盾方程。
26.
设包含 3 个变量的 3 个方程的线性方程组的系数矩阵每行有一个主元。说明为什么方程组有唯一解。
分析：
- 系数矩阵为 3×33 \times 33×3，每行有主元 → 3 个主元列。
- 主元列数 = 变量数 → 无自由变量。
- 由定理 2，相容且无自由变量 ⇒ 唯一解。
结论：
方程组有唯一解。因为系数矩阵是满秩的，且无自由变量。
27.
利用主元列的概念重述定理 2 的最后一句：“若线性方程组是相容的，则解是唯一的当且仅当…”
重述：
“若线性方程组是相容的，则解是唯一的当且仅当系数矩阵的每一列都是主元列。”
解释：
- 每一列都是主元列 ⇨ 无自由变量 ⇨ 唯一解。
- 若存在非主元列 ⇨ 有自由变量 ⇨ 无穷多解。
28.
为了知道一个方程组是相容的且具有唯一解，你需要知道它的增广矩阵的主元列的什么情况？
分析：
- 相容性：增广列不是主元列。
- 唯一解：系数矩阵的每一列都是主元列（无自由变量）。
结论：
增广列不是主元列，且系数矩阵的每一列都是主元列。
29.
若线性方程组的方程个数少于未知数个数，称之为欠定方程组。设一个欠定方程组是相容的，说明它为什么会有无穷多解。
分析：
- 设有 mmm 个方程、nnn 个变量，m<nm < nm<n。
- 主元数 ≤ m<nm < nm<n → 至少有 n−m>0n - m > 0n−m>0 个自由变量。
- 自由变量可取任意值 → 无穷多解。
结论：
欠定方程组相容时必有无穷多解。因为自由变量数量 ≥ n−m>0n - m > 0n−m>0。
30.
给出一个含有 3 个未知数和 2 个方程的不相容的欠定方程组的例子。
构造：
{x1+x2+x3=2x1+x2+x3=3
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 = 2 \\
x_1 + x_2 + x_3 = 3
\end{cases}
{x1+x2+x3=2x1+x2+x3=3
验证：
-
增广矩阵：
[11121113]→R2−R1[11120001] \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 - R_1} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [11111123]R2−R1[10101021] -
第二行对应方程 0=10 = 10=1，矛盾。
结论：
方程组不相容，是欠定方程组的一个反例。
31.
若线性方程组的方程个数多于未知数个数，称之为超定方程组。这样的方程组是否是相容的？用一个含 2 个未知数和 3 个方程的方程组说明你的答案。
分析：
- 超定方程组不一定相容，取决于方程是否矛盾。
例子：
{x1+x2=2x1−x2=03x1+2x2=5
\begin{cases}
x_1 + x_2 = 2 \\
x_1 - x_2 = 0 \\
3x_1 + 2x_2 = 5
\end{cases}
⎩⎨⎧x1+x2=2x1−x2=03x1+2x2=5
验证：
-
由前两个方程得 x1=x2=1x_1 = x_2 = 1x1=x2=1。
-
代入第三个方程：3(1)+2(1)=53(1) + 2(1) = 53(1)+2(1)=5，满足。
-
增广矩阵：
[1121−10325]→R2−R1[1120−2−2325]→R3−3R1[1120−2−20−1−1] \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 5 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 - R_1} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & -2 \\ 3 & 2 & 5 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 - 3R_1} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & -2 \\ 0 & -1 & -1 \end{bmatrix} 1131−12205R2−R11031−222−25R3−3R11001−2−12−2−1→−12R2[1120110−1−1]→R3+R2[101011000] \xrightarrow{-\frac{1}{2}R_2} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 + R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} −21R210011−121−1R3+R2100010110
-
有唯一解 x1=1,x2=1x_1 = 1, x_2 = 1x1=1,x2=1。
结论：
超定方程组可以相容。上例表明 3 个方程、2 个变量的方程组可以有唯一解。
32.
设一个 n×(n+1)n \times (n+1)n×(n+1) 矩阵用行化简算法化为简化阶梯形。当 n=30n = 30n=30 和 n=300n = 300n=300 时总的运算（浮点）次数中向后步骤占了多少比例？在实验中向后步骤占了多大比例表示，这些数据的插值多项式是其图像通过这些点的一个多项式。在科学工作中，这样的多项式可用来估计已知数据点之间的某些数值。另一个应用是在计算机屏幕绘制图形图像。求这种插值多项式的一种方法是解线性方程组。
计算分析：
- 向前步骤（化为阶梯形）的运算次数约为 2n33\frac{2n^3}{3}32n3
- 向后步骤（化为简化阶梯形）的运算次数约为 n2n^2n2
当 n=30n = 30n=30 时：
- 向前步骤：2(30)33=18,000\frac{2(30)^3}{3} = 18,00032(30)3=18,000 次浮点运算
- 向后步骤：(30)2=900(30)^2 = 900(30)2=900 次浮点运算
- 总运算次数：18,000+900=18,90018,000 + 900 = 18,90018,000+900=18,900
- 向后步骤占比：90018,900≈0.048\frac{900}{18,900} \approx 0.04818,900900≈0.048 或 约 5%
当 n=300n = 300n=300 时：
- 向前步骤：2(300)33=18,000,000\frac{2(300)^3}{3} = 18,000,00032(300)3=18,000,000 次浮点运算
- 向后步骤：(300)2=90,000(300)^2 = 90,000(300)2=90,000 次浮点运算
- 总运算次数：18,000,000+90,000=18,090,00018,000,000 + 90,000 = 18,090,00018,000,000+90,000=18,090,000
- 向后步骤占比：90,00018,090,000≈0.005\frac{90,000}{18,090,000} \approx 0.00518,090,00090,000≈0.005 或 约 0.5%
结论：
随着 nnn 增大，向后步骤占总运算的比例显著减小。当 nnn 较大时，向前步骤主导了计算复杂度。
33.
求数据 (1,12)(1,12)(1,12), (2,15)(2,15)(2,15), (3,16)(3,16)(3,16) 的插值多项式 p(t)=a0+a1t+a2t2p(t) = a_0 + a_1t + a_2t^2p(t)=a0+a1t+a2t2。即求 a0,a1,a2a_0, a_1, a_2a0,a1,a2 使得下式成立：
{a0+a1(1)+a2(1)2=12a0+a1(2)+a2(2)2=15a0+a1(3)+a2(3)2=16 \begin{cases} a_0 + a_1(1) + a_2(1)^2 = 12 \\ a_0 + a_1(2) + a_2(2)^2 = 15 \\ a_0 + a_1(3) + a_2(3)^2 = 16 \end{cases} ⎩⎨⎧a0+a1(1)+a2(1)2=12a0+a1(2)+a2(2)2=15a0+a1(3)+a2(3)2=16
增广矩阵：
[111121241513916]
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 12 \\
1 & 2 & 4 & 15 \\
1 & 3 & 9 & 16
\end{bmatrix}
111123149121516
行变换过程：
-
R2←R2−R1R_2 \leftarrow R_2 - R_1R2←R2−R1，R3←R3−R1R_3 \leftarrow R_3 - R_1R3←R3−R1：
[1111201330284] \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & 8 & 4 \end{bmatrix} 1001121381234 -
R3←R3−2R2R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2R3←R3−2R2：
[111120133002−2] \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \end{bmatrix} 100110132123−2 -
R3←12R3R_3 \leftarrow \frac{1}{2}R_3R3←21R3：
[111120133001−1] \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} 100110131123−1 -
R2←R2−3R3R_2 \leftarrow R_2 - 3R_3R2←R2−3R3，R1←R1−R3R_1 \leftarrow R_1 - R_3R1←R1−R3：
[110130106001−1] \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 13 \\ 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} 100110001136−1 -
R1←R1−R2R_1 \leftarrow R_1 - R_2R1←R1−R2：
[10070106001−1] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} 10001000176−1
解得：
a0=7,a1=6,a2=−1
a_0 = 7,\quad a_1 = 6,\quad a_2 = -1
a0=7,a1=6,a2=−1
插值多项式：
p(t)=7+6t−t2
p(t) = 7 + 6t - t^2
p(t)=7+6t−t2
验证：
- p(1)=7+6(1)−(1)2=12p(1) = 7 + 6(1) - (1)^2 = 12p(1)=7+6(1)−(1)2=12
- p(2)=7+6(2)−(2)2=15p(2) = 7 + 6(2) - (2)^2 = 15p(2)=7+6(2)−(2)2=15
- p(3)=7+6(3)−(3)2=16p(3) = 7 + 6(3) - (3)^2 = 16p(3)=7+6(3)−(3)2=16
结论：
插值多项式为 p(t)=7+6t−t2p(t) = 7 + 6t - t^2p(t)=7+6t−t2。
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