算法设计与分析-递归与卡特兰数

本文的读者应该具有程序设计的基础，且已经编写过一些递归题目的代码。

（一） 前言

         递归是算法领域最重要的基础算法之一，在后续的动态规划算法、搜索算法中也会经常用到递归思想。

        递归算法常用于以下三种场景：
（1）递归定义的数学函数（阶乘、阿克曼函数等）
（2）具有递归特性的数据结构（树，二叉树，堆等）
（3）其他可用递归求解的问题
        通常用F函数表示递归，例如F（n）表示一个数据规模为n的递归函数。递归算法的思想就是思考如何用问题规模小于n的递归函数，如F（n-1）、F（n/2）等，设计算法求得F（n）。

        和学习其他算法一样，递归思想的培养既要一定量的训练，也要思考。学习者应该先学习并掌握一些和递归密切相关的方法（基础性递归问题，以及递归实现指数枚举，组合、排列等）和数学概念（斐波那契，卡特兰数），再通过训练、思考，总结来逐步掌握递归算法和思想。本文仅从递归的角度，对卡特兰数及其相关问题进行一些基础性介绍。

（二） 什么是卡特兰数

        卡特兰数（英语：Catalan number），又称卡塔兰数、明安图数，是