算法设计分析之------ 递推与递归篇一

前言

感觉老师讲的很好，算法是解决某一类特定问题的一个模型，依赖于具体的问题。而我们解决问题的两大通用模型分别是确定性图灵机模型与递归模型，两者的计算能力是等价的。这两个模型是建立在数学模型上的，可以说是所有算法抽象的一个顶层。那么我将会用所学到的来运用到具体算法的分析之中。

递推

数楼梯

题目链接：数楼梯

解题思路
一共有n层楼梯，如果我们将每一层楼梯都看成一个状态的话，那么对于i转态，能直接转到它的只能是i-1和i-2状态。同时我们将状态的属性定义为到达其方式总数，那么我们就有$f[i]=f[i-1]+f[i-2]$,对于自动机我们都有初始转态，对于这里，我们的初始转态是f[1]=1和f[0] = 1.

实现技巧

• 由于这里N最大为5000，会超过爆。那么我们就需要用高精度加法来进行运算。也就是我们可以用一个二维数组来解决。如下代码

代码:

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 5010;
typedef long long LL;

int f[N][N];
int len = 1,n;
void solve(int k){
   
   
    for(int i = 0 ;i < len ; ++i)f[k][i] = f[k-1][i] + f[k-2][i];
    
    for(int i = 0 ; i < len ; ++i){
   
   
        f[k][i+1] += f[k][i] / 10;
        f[k][i] %= 10;
    }
    if(f[k][len])len++;
}

int main(){
   
   
    cin>>n;
    f[1][0] = 1,f[0][0] = 1;
    for(int i = 2 ; i <= n ; ++i)solve(i);
    for(int i = len - 1 ; i >= 0 ; --i)cout<<f[n][i];
    return 0;
}

过河卒

题目链接：过河卒

解题思路：
我们将每一个坐标当成一个状态，依题目对于状态(i,j)能直接转移到它的只能是(i-1,j)和(i,j-1)。因此我们对每一个转态加上一个属性，属性的含义是：转移到这个转态的方式数量。 因此我们就有:$f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1$