递归算法----Catalan数----笨笨连线游戏

一、题目描述

笨笨连线游戏

【题目描述】

一天，妈妈在黑板上画了一个大大的圆，然后又在圆弧上标上1，2，3，...,，2N个数。然后让笨笨任意选取一对数(两个不同的数)上连一条直线。然后再任意选取一对数，再边一条直线，但这条直线不能和任何别的直线相交。每个数都要恰好与另一个数连一条直线。

笨笨费了好大的劲才找出一种连线方案。妈妈在旁边问笨笨：给出N，请问不同的连线方案有多少种呢？

笨笨算不出来，只好请教作为大牛的你。

【输入】

多组数据，每组数据的格式为：

第1行：1个整数N（1<= N <= 150），表示在圆弧上会标记2N个数

当输入的N为0时，表示输入结束。

【输出】

每组输入对应输出一行，一个整数，表示连线的方案数。由于结果太大，只保留模10007后的余数。

【样例输入】

2 

3 

0  

【样例输出】

2

5

二、分析

这道题目主要考察大家的递归知识，也可以用递推来做。题目的思路类似Catalan数，要注意找规律。

再分析一下题目的数据范围，用递归绝对会栈溢出，但是数据不会超限，所以不用高精度算法。

我们可以用记忆化递归调用，用一个int c[155]数组来储存f(1)到f(n)的数据。

下面是找规律：

f(0)=1----非常重要

f(1)=1

f(2)=f(0)*f(1)+f(1)*f(0)

f(3)=f(0)*f(2)+f(1)*f(1)+f(2)*f(0)

...

最终找到规律：

f(n)=f(0)*f(n-1)+f(1)*f(n-2)+f(2)*f(n-3)...+f(n-1)*f(0)

接下来的代码都非常简单了，用if语句来判断c[n]中是否为空，为空就调用f(n)，就可以了。

Catalan数还有一个一阶递推公式：f(n)=f(n-1)*(4*n-2)/(n+1)，其中n>1,f(0)=f(1)=1;