Catalan(卡特兰)数

定义:令h(1)=1,h(0)=1,Catalan数满足递归式

           h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+.....+h(n-1)*h(0) (h≥2)

另类递归式:

          h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1)

该递归关系的解为

         h(n)=C(2n,n)/(n+1)  (n=1,2,3,4.....)


更多关于卡特兰数的资料:

http://blog.youkuaiyun.com/hackbuteer1/article/details/7450250 -Hackbuteer1


http://blog.youkuaiyun.com/ffjjqqjj/article/details/6081711 -ffjjqqjj


题目:http://poj.org/problem?id=2084

      http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1023


对前100个卡特兰数打表代码:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

const int TOP_BIT=100;
const int MOD=10000;
void multi(int a[],int x) //a[]*x
{
	int arry=0;
	for(int i=0;i<TOP_BIT;i++)
	{
		arry+=x*a[i];
		a[i]=arry%MOD;
		arry/=MOD;
	}
}

void divide(int a[],int b) //a[]/b
{
	int divd=0;
	for(int i=TOP_BIT-1;i>=0;i--)
	{
		divd=divd*MOD+a[i];
		a[i]=divd/b;
		divd%=b;
	}
}

int a[100][100];

int main()
{
	
	a[1][0]=1;
	for(int i=2;i<101;i++)
	{
		memcpy(a[i],a[i-1],100*sizeof(int));
		multi(a[i],4*i-2);
		divide(a[i],i+1);
	}
	for(int i=1;i<101;i++)
	{
		int j=99;
		printf("\"");
		while(a[i][j]==0 && j>=0) j--;
		printf("%d",a[i][j]); j--;
		for(;j>=0;j--)
			printf("%04d",a[i][j]);
		printf("\",");
		printf("\n");
	}
	return 0;
}

代码:
#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

char a[][100]={
					"1",
					"2",
					"5",
					"14",
					"42",
					"132",
					"429",
					"1430",
					"4862",
					"16796",
					"58786",
					"208012",
					"742900",
					"2674440",
					"9694845",
					"35357670",
					"129644790",
					"477638700",
					"1767263190",
					"6564120420",
					"24466267020",
					"91482563640",
					"343059613650",
					"1289904147324",
					"4861946401452",
					"18367353072152",
					"69533550916004",
					"263747951750360",
					"1002242216651368",
					"3814986502092304",
					"14544636039226909",
					"55534064877048198",
					"212336130412243110",
					"812944042149730764",
					"3116285494907301262",
					"11959798385860453492",
					"45950804324621742364",
					"176733862787006701400",
					"680425371729975800390",
					"2622127042276492108820",
					"10113918591637898134020",
					"39044429911904443959240",
					"150853479205085351660700",
					"583300119592996693088040",
					"2257117854077248073253720",
					"8740328711533173390046320",
					"33868773757191046886429490",
					"131327898242169365477991900",
					"509552245179617138054608572",
					"1978261657756160653623774456",
					"7684785670514316385230816156",
					"29869166945772625950142417512",
					"116157871455782434250553845880",
					"451959718027953471447609509424",
					"1759414616608818870992479875972",
					"6852456927844873497549658464312",
					"26700952856774851904245220912664",
					"104088460289122304033498318812080",
					"405944995127576985730643443367112",
					"1583850964596120042686772779038896",
					"6182127958584855650487080847216336",
					"24139737743045626825711458546273312",
					"94295850558771979787935384946380125",
					"368479169875816659479009042713546950",
					"1440418573150919668872489894243865350",
					"5632681584560312734993915705849145100",
					"22033725021956517463358552614056949950",
					"86218923998960285726185640663701108500",
					"337485502510215975556783793455058624700",
					"1321422108420282270489942177190229544600",
					"5175569924646105559418940193995065716350",
					"20276890389709399862928998568254641025700",
					"79463489365077377841208237632349268884500",
					"311496878311103321137536291518809134027240",
					"1221395654430378811828760722007962130791020",
					"4790408930363303911328386208394864461024520",
					"18793142726809884575211361279087545193250040",
					"73745243611532458459690151854647329239335600",
					"289450081175264899454283846029490767264392230",
					"1136359577947336271931632877004667456667613940",
					"4462290049988320482463241297506133183499654740",
					"17526585015616776834735140517915655636396234280",
					"68854441132780194707888052034668647142985206100",
					"270557451039395118028642463289168566420671280440",
					"1063353702922273835973036658043476458723103404520",
					"4180080073556524734514695828170907458428751314320",
					"16435314834665426797069144960762886143367590394940",
					"64633260585762914370496637486146181462681535261000",
					"254224158304000796523953440778841647086547372026600",
					"1000134600800354781929399250536541864362461089950800",
					"3935312233584004685417853572763349509774031680023800",
					"15487357822491889407128326963778343232013931127835600",
					"60960876535340415751462563580829648891969728907438000",
					"239993345518077005168915776623476723006280827488229600",
					"944973797977428207852605870454939596837230758234904050",
					"3721443204405954385563870541379246659709506697378694300",
					"14657929356129575437016877846657032761712954950899755100",
					"57743358069601357782187700608042856334020731624756611000",
					"227508830794229349661819540395688853956041682601541047340",
					"896519947090131496687170070074100632420837521538745909320"
	};

int main()
{
	int n,ncase=1,m;
	scanf("%d",&n);
	while(n--)
	{
		scanf("%d",&m);
		printf("Case #%d : %s\n",ncase++,a[m]);
	}
	return 0;
}


<think>好的,我现在要回答用户关于卡特兰的概念和应用的问题。首先,我需要回顾一下卡特兰的基本定义和常见应用场景。根据用户提供的引用内容,卡特兰在组合学和计算机科学中有很多应用,比如网格路径、括号匹配、进出栈问题、二叉树构成以及凸多边形划分等。 首先,我应该明确卡特兰的定义。根据引用[2],卡特兰是一组自然序列,以法国学家欧仁·卡特兰命名,常用于组合学中。引用[4]提到,卡特兰的第n项(记作$C_n$)表示许多组合问题的解的量。所以,我需要给出卡特兰学表达式,通常使用递推公式或闭式公式来表示。根据引用[1]和[4],闭式公式是$C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$,而递推公式则是$C_{n+1} = \sum_{i=0}^{n} C_i C_{n-i}$,初始条件$C_0 = 1$。不过,用户提供的引用中没有直接提到递推公式,但根据我的知识,这是正确的,所以可能需要确认。不过引用[5]提到了证明方法,可能包含递推关系。 接下来是应用部分。根据引用[5],网格路径问题、括号匹配、进出栈问题、二叉树构成和凸多边形划分都是经典应用。我需要为每个应用提供一个简明的例子,可能的话结合学表达式或图示,但由于用户要求使用行内学表达式,我需要用LaTeX来表示,比如在网格路径中,路径由$C_n$给出,而括号匹配的量也是$C_n$。此外,引用[2]提到的栈排序问题、二叉树构造等也需涵盖。 用户还提到卡特兰的算法实现,但引用中主要提到的是阶乘和除法可能导致值溢出和精度问题(引用[3])。因此,在算法部分,我需要提到直接计算闭式公式可能带来的问题,以及可能的优化方法,比如动态规划或递推法来计算卡特兰,以避免大运算的问题。 然后,我需要考虑生成相关问题。根据示例中的结构,问题应围绕卡特兰的性质、应用、计算方法、优化等展开。例如,如何计算卡特兰、递推关系、应用场景的不同例子,以及算法实现的优化等。 在组织内容时,要确保符合系统级指令:行内学表达式用$...$,独立公式用$$...$$,正确的中文回答,引用标识自然添加。例如,在描述闭式公式时使用独立公式: $$C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n}$$ 同时,引用需要正确标注,比如在提到应用场景时引用[5],在提到算法缺点时引用[3]。 检查是否有遗漏的信息,比如卡特兰的前几项值,引用[4]提到前几项为1, 1, 2, 5, 14等,可以加入基础概念部分。同时,引用[1]和[2]强调了组合学中的应用,需要整合这些内容。 最后,确保回答结构清晰,分点说明概念、应用示例、算法实现,并生成相关问题。可能还需要注意避免直接复制引用内容,而是用自己的话组织,同时正确标注引用来源。</think>### 卡特兰的概念与应用 #### 一、基础概念 **卡特兰**(Catalan numbers)是组合学中的自然序列,记为$C_n$,其定义如下: $$C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} \quad (n \geq 0)$$ 前几项为:$C_0=1$, $C_1=1$, $C_2=2$, $C_3=5$, $C_4=14$等[^4]。它也可以通过递推公式计算: $$C_{n+1} = \sum_{i=0}^{n} C_i C_{n-i}, \quad C_0=1$$ #### 二、经典应用示例 1. **网格路径问题** 在$n \times n$网格中,从$(0,0)$到$(n,n)$,每次只能向右或向上移动,且路径不跨越对角线的路线为$C_n$[^5]。例如,$n=2$时路径为2(对应$C_2$)。 2. **括号匹配问题** $n$对括号能组成的合法序列量为$C_n$。例如,3对括号有5种合法组合(对应$C_3=5$)[^5]。 3. **进出栈序列问题** 给定$n$次进栈和出栈操作,合法的操作序列为$C_n$。例如,3次操作有5种合法序列[^2]。 4. **二叉树构成问题** $n+1$个叶子节点能构成的不同形态的满二叉树量为$C_n$[^5]。 5. **凸多边形划分** 凸$n+2$边形用不相交的对角线划分为三角形的方法为$C_n$。 #### 三、算法实现与注意事项 直接计算闭式公式时,阶乘$\binom{2n}{n}$可能导致值溢出(如$n=20$时结果超过$10^{18}$)。改进方法包括: - **递推法**:利用递推公式$C_{n+1} = \sum_{i=0}^n C_i C_{n-i}$逐步计算。 - **动态规划**:存储中间结果,避免重复计算。 ```python def catalan(n): dp = [0] * (n+1) dp[0] = 1 for i in range(1, n+1): for j in range(i): dp[i] += dp[j] * dp[i-j-1] return dp[n] ``` #### 四、应用特点与局限性 - **优点**:统一解决多种组合问题,学性质优美。 - **缺点**:直接计算闭式公式时可能因阶乘导致值溢出或精度丢失[^3]。
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