【BZOJ4036】【洛谷3175】【HAOI2015】—按位或（FMT+期望dp）

最新推荐文章于 2025-06-16 19:35:07 发布

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本文介绍了一种使用概率动态规划（DP）与快速傅里叶变换（FMT）结合的方法来解决复杂的数学期望问题。通过将问题转化为概率DP的形式，并利用FMT加速计算，最终得出一个高效的解决方案。

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好像还可以 $M i n - M a x$ 容斥

$f [i] [j]$ 表示前 $i$ 次，状态为 $j$ 的概率
令 $m=2^n$
则要求的答案为
$\sum_{k=1}^{\infty}k*(f[k][m-1]-f[k-1][m-1])$
$=(\lim_{k\rightarrow \infty}kf[k][m-1])-\sum_{k=0}^{\infty}f[k][m-1]$

且 $f [k] [x]$ 就相当于把 $p$ 做 $k$ 次集合 $a n d$ 卷积第 $x$ 项系数
则 $F M T$ 之后得到 $g[x]=-\sum_{k=0}^{\infty}p[x]^k$
而这是一个等比数列，在趋近无穷时得到 $g[x]=\frac{-1}{1-p[x]}$
当 $p [x] = 1$ 时 $g [x]$ 为0
最后 $F M I$ 回来就可以了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int RLEN=1<<22|1;
inline char gc(){
    static char ibuf[RLEN],*ib,*ob;
    (ib==ob)&&(ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,RLEN,stdin));
    return ib==ob?EOF:*ib++;
}
#define gc getchar 
inline int read(){
    char ch=gc();
    int res=0,f=1;
    while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
    while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return f?res:-res;
}
const int N=22;
int n,m;
double p[1<<N];
const double eps=1e-8;
inline void FWT(double *f,int kd){
	for(int i=0;i<n;i++){
		for(int j=0;j<m;j++){
			if(j&(1<<i))continue;
			f[j|(1<<i)]=f[j|(1<<i)]+kd*f[j];
		}
	}
}
int main(){
	n=read(),m=1<<n;
	for(int i=0;i<m;i++)scanf("%lf",&p[i]);
	FWT(p,1);
	for(int i=0;i<m;i++)
	p[i]=(1-p[i])>eps?(-1.00/(1.00-p[i])):0;
	FWT(p,-1);
	if(p[m-1]<eps)puts("INF");
	else printf("%.6lf",p[m-1]);
}