【BZOj2226】【SPOJ5971】—LCMSum（欧拉函数+线性筛）

最新推荐文章于 2019-08-13 13:19:00 发布

stargazer.

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_42555009/article/details/87634712

本文详细解析了求∑i=1nlcm(i,n)的算法过程，通过将lcm转换为gcd进行计算，利用枚举和配对技巧简化公式，最终实现O(nlogn)的复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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题意：求 $\sum_{i=1}^n lcm(i,n)$

考虑到 $l c m$ 无法处理，把 $l c m$ 换成 $g c d$

即 $ans=\sum_{i=1}^{n}\frac {i*n}{gcd(i, n)}$

考虑由于辗转相减法 $g c d (i, n) = g c d (n - i, n)$
把 $\sum$ 内的前后两两配对

则 $ans=\frac 1 2 (\sum_{i=1}^{n-1} \frac {i*n}{gcd(i,n)}+\sum_{i=1}^{n-1} \frac {(n-i)*n} {gcd(n-i,n)})+n$ （因为 $i = n$ 时对应的为 $n - i = 0$ ，所以单独提出来处理）

合并得：

$ans=\frac {1}{2}（\sum_{i=1}^{n-1}\frac{n^2}{gcd(i,n)}）+n$

考虑枚举 $g c d (i, n)$

$ans=\frac 1 2 (\sum_{d|n\&d\not=n}\frac {n^2}d \sum_{i=1}^{n-1}[gcd(i,n)=d])$

把框里的 $d$ 消去

$ans=\frac 1 2 (\sum_{d|n\&d\not=1} \frac {n^2}d\sum_{i=1}^{\frac n d}[gcd(i,\frac n d)=1])$

发现 $\sum_{i=1}^{\frac n d}[gcd(i,\frac n d)=1]=\phi(\frac n d)$

则 $ans=\frac 1 2(\sum_{d|n\&d\not=1} \frac {n^2}{d}\phi(\frac n d))$

我们枚举每个 $d$ ，暴力更新它的所有倍数就可以 $O (1)$ 回答了

复杂度 $O (n l o g n)$

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
	char ch=getchar();
	int res=0,f=1;
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch))res=(res<<3)+(res<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return res*f;
} 
#define int long long
const int N=1000006;
int n,phi[N],pr[N],vis[N],tot,g[N]; 
inline void init(){
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++){
		if(!vis[i])pr[++tot]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=tot&&pr[j]*i<N;j++){
			vis[i*pr[j]]=1;
			if(i%pr[j]==0){
				phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];break;
			}
			phi[i*pr[j]]=phi[i]*phi[pr[j]];
		}
	}
	for(int i=2;i<N;i++){
		for(int j=1;i*j<N;j++){
			g[i*j]+=i*phi[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<N;i++)g[i]=g[i]*i/2+i;
}
signed main(){
	init();int T=read();
	while(T--){
		cout<<g[read()]<<'\n';
	}
}