第5章行列式

看风景的人lsy

已于 2022-09-09 23:52:37 修改

阅读量319

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：线性代数文章标签：线性代数

于 2018-05-12 15:17:26 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_28038207/article/details/80291716

线性代数专栏收录该内容

6 篇文章

订阅专栏

线性方程求解

行列式的概念起源于线性方程组的求解

$Ax=bA=[α1,...,αn]AT=[β1,...,βn]Ax=b\\ A=[\alpha_1,...,\alpha_n]\\ A^T=[\beta_1,...,\beta_n]$

$A$ 是 $n * n$ 的矩阵， $αi\alpha_i$ 是 $A$ 的第 $i$ 行、 $βi\beta_i$ 是 $A$ 的第 $i$ 列

高斯消元法
可以通过高斯消元法进行求解。
同时对 $A$ 、 $b$ 进行 $rowi=rowi+λrowjrow_i = row_i + \lambda row_j$ 的操作，将左侧矩阵变成上三角矩阵，就可以简单的求解。

设计多元函数进行求解

$Ax=[α1,...,αn][x1,...,xn]T=x1α1+...+xnαn=bAx=[\alpha_1,...,\alpha_n][x_1,...,x_n]^T=x_1\alpha_1+...+x_n\alpha_n=b$
寻找多元函数

逆序数

逆序数可用来精简化行列式的表示。
在这里插入图片描述

行列式

定义 5.1 数域 $F$ 上的一个n阶行列式是取值于 $F$ 的n个n维向量 $,αn)∈Fn(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\in F^n$ 的一个函数，而且 $∀αi,βi∈Fn\forall \alpha_i,\beta_i \in F^n$ 和 $∀λ∈F\forall \lambda \in F$ ，满足以下规则：
（1） $,αn)D(\alpha_1,\cdots,\lambda \alpha_i,\cdots,\alpha_n)=\lambda D(\alpha_1,\cdots,\alpha_i,\cdots,\alpha_n)$
（2） $,αn)D(\alpha_1,\cdots,\alpha_i+\beta_i,\cdots,\alpha_n)=D(\alpha_1,\cdots,\alpha_i,\cdots,\alpha_n)+D(\alpha_1,\cdots,\beta_i,\cdots,\alpha_n)$
（3） $,αn)D(\alpha_1,\cdots,\alpha_i,\cdots,\alpha_j,\cdots,\alpha_n)=-D(\alpha_1,\cdots,\alpha_j,\cdots,\alpha_i,\cdots,\alpha_n)$
（4） $,en)=1D(e_1,e_2,\cdots,e_n)=1$

定义有递归的意味，满足线性、对换反号、D(I)=1。
至于结果是唯一的吗？上面的用逆序数描述的行列式定义显示是唯一的

性质1 若行列式中有一行为零向量，那么行列式值是0

根据定义(1)

性质2 若行列式有两列元素相等，则行列式的值是0

根据定义(3)

性质3 若行列式有两列元素成比例，则行列式的值等于0

根据定义(1)和性质2

性质4 将某一列乘以常数加到另一列（不同列），行列式值不变
性质5 若列线性相关，则行列式的值是0

有了这些性质，计算行列式会方便很多。到这里都是列操作的性质，那么行操作呢？

性质6 $A^T|=|A|$

证明：若r(A)小于n，则都是0。
若r(A)=n，则A可逆。 $A=P1P2⋯PkA=P_1P_2\cdots P_k$ (化为单位矩阵的过程得到这些P)。 $P_k$ 是初等矩阵。 $AT=PkT⋯P1TA^T=P_k^T\cdots P_1^T$ ，有 $P_k|=|P_k^T|$ ，所以得证

$图片名称$

$∣ A T ∣ = ∣ A ∣∣ T ∣$ ，T是初等矩阵
定义 5.2 在n阶行列式 $D=|a_{ij}|_{n×n}$ 中，去掉元素 $a_{ij}$ 所在的第i行和第j列的所有元素而得到的n-1阶行列式，称为元素 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$ ，并把数 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$
称为元素 $a_{ij}$ 的代数余子式
定理 5.1 设 $D=|a_{ij}|_{n×n}$ ，则
$D=∑k=1nakjAkj=∑k=1naikAikD=\sum_{k=1}^na_{kj}A_{kj}=\sum_{k=1}^na_{ik}A_{ik}$
分别是D对第j列的展开式和D对第i行的展开式。
定理 5.3 A,B是n×n的矩阵，则 $∣ A B ∣ = ∣ A ∣∣ B ∣$