第4章 矩阵

线性映射的矩阵表示

设$B_1=\{\varepsilon_1,...,\varepsilon_n\}$是$V_1(F)$的基，$B_2=\{e_1,...,e_m\}$是$V_2(F)$的基，线性映射$\sigma \in L(V_1,V_2)$被作用于上面对应基上的结果是：

$$\begin{cases} \sigma(\varepsilon_1)=a_{11}e_1+a_{21}e_2+...+a_{m1} e_m\\ ...\\ \sigma(\varepsilon_n)=a_{1n}e_1+a_{2n}e_2+...+a_{mn} e_m \end{cases}$$
则该映射在给定基下对应的矩阵表示是：
$$M(\sigma)= \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12} & ...&a_{1n} \\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{m1}& a_{m2} & ...&a_{mn} \end{bmatrix}$$

矩阵意义：$V_1(F)$下一个元素在基下的坐标表示是$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$，在映射$\sigma$下的像在基下的坐标表示是$M(\sigma)x$。$M(\sigma)x$运算的规则是根据映射推出来的，跟我们熟悉的运算规则是一样的。

矩阵的乘法

矩阵的加法和数乘通过映射容易得出相应的运算规则。而乘法涉及到两个映射。
线性空间$V_1(F),V_2(F),V_3(F)$的维度分别是n,m,p。$\sigma \in L(V_1,V_2), \tau \in L(V_2,V_3)$，在给定基下对应的矩阵是$M(\tau),M(\sigma)$。则$\tau\sigma \in L(V_1,V_3)$，在给定基下的表示是$M(\tau)M(\sigma)$。$M(\tau)M(\sigma)$运算的规则是根据映射推出来的，跟我们熟悉的运算规则是一样的。

矩阵相乘：
$\tau\sigma(\varepsilon_j)=\tau(\sum_{k=1}^m b_{kj}e_k)=\sum_{k=1}^m b_{kj}\tau(e_k)=\sum_{k=1}^m b_{kj}(\sum_{i=1}^p a_{ik}\zeta_i)=\sum_{i=1}^p(\sum_{k=1}^m a_{ik}b_{kj})\zeta_i$

矩阵的秩

定义$r(A)=r(\sigma)$
$r(A)=A的列秩$：这个通过基的线性映射的和像的坐标表示证明。
$A\text {的行秩}=A\text {的列秩}$：假设行秩是r，前r行线性无关。则$a_{ij}$可以被前r行的同列数线性组合表示。第$j$列$(a_{ij},\cdots,a_{mj})^T=\sum_{k=1}^r(c_{1k},\cdots,c_{mk})^Ta_{kj}$。所有列向量可以被r个同维向量表示，所以A的列秩<=r=A的行秩。同理，正秩<=列秩

• 初等行变换和列变换不改变矩阵的秩

  证明不改变行秩或列秩即可。要点：两组向量组之间可以互相线性表示，那么它们的秩相同

• 相抵：A经过初等变换可以化为B，$A\cong B$ $\iff$ r(A)=r(B)

基的变换矩阵与坐标变换

$(\beta_1,\cdots,\beta_n)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n) \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12} & ...&a_{1n} \\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{m1}& a_{m2} & ...&a_{mn} \end{bmatrix}=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)A$

$X$是在基$\alpha$下的坐标，Y是在基$\beta$下的坐标，则$Y=A^{-1}X$

证明：$\alpha X=\beta Y=\alpha A Y$，所以$Y=A^{-1}X$

• 在不同基下的相同线性映射的矩阵相似