定义 7.1 欧氏空间V(R)V(R)的一个线性变换σσ称为正交变换,如果∀α,β∈V∀α,β∈V,都有
(σ(α),σ(β))=(α,β)(σ(α),σ(β))=(α,β)或者|σ(α)|=|α||σ(α)|=|α|原内积=像的内积
原长度=像的长度
<α,β>=arccos(α,β)|α||β|<α,β>=arccos(α,β)|α||β|,所以夹角不变定义 7.2 欧氏空间V(R)的正交变换σσ关于V的单位正交基所对应的矩阵A称为正交矩阵
定义 7.3 n阶实矩阵A称为正交矩阵,如果ATA=EATA=E。
正交矩阵相关性质:
(1)A−1=ATA−1=AT,且ATAT也是正交矩阵
(2)|A|=1或−1|A|=1或−1
(3)AB是正交矩阵,则BA也是Schmidt正交化
定理 7.1 若A可逆,则存在正交矩阵Q和主对角为正数的上三角矩阵R,使得
A=QRA=QR通过Schmidt正交化证明
定理 7.4 设线性变换σ∈L(V,V)σ∈L(V,V),B1={α1,⋯,αn}B1={α1,⋯,αn}和B2={β1,⋯,βn}B2={β1,⋯,βn}是线性空间V(F)的两组基,基B1B1变为基B2B2的变换矩阵是C,如果σσ在基B1B1下的矩阵是A,则σσ在基B2B2下的矩阵是B=C−1ACB=C−1AC,称A相似于B,记作A∼BA∼B
定义 7.5 设σσ是线性空间V(F)的一个线性变换,如果存在数λλ和非零向量ζ∈Vζ∈V,使得
σ(ζ)=λζσ(ζ)=λζ则称数λλ是σσ的一个特征值,ζζ是σσ的属于其特征值λλ的特征向量。定理 7.6 若矩阵A与B相似,则它们的特征多项式相等,即
|λE−A|=|λE−B||λE−A|=|λE−B|矩阵相似可以看作同一映射在不同基下的矩阵表示。特征值肯定是相同的。
m个特征子空间的和是直和,即
dim(Vλ1+⋯+Vλm)=∑j=1mdimVλjdim(Vλ1+⋯+Vλm)=∑j=1mdimVλj直和:W1∩W2W1∩W2=0,则
W1+W2={α|α=α1+α2,α1∈W1,α2∈W2}W1+W2={α|α=α1+α2,α1∈W1,α2∈W2}叫做W1与W2W1与W2的直和
α=α1+α2α=α1+α2唯一
交0
分解只能0=0+00=0+0
dim(W1+W2)=dim(W1)+dim(W2)dim(W1+W2)=dim(W1)+dim(W2)
这四个命题等价
如果有限维线性空间V(F)的线性变换σσ在V的某个基下的对应矩阵是对角阵,则称σσ是可对角化的线性变换。同样与对角阵相似的矩阵A称为可对角化矩阵。
定理7.8 A可对角化⟺⟺A有n个线性无关的特征向量
实对称矩阵A的特征值都是实数
实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量是正交的
若A是一个n阶实对称矩阵,则存在正交矩阵Q,使得
Q−1AQ=diag(λ1,⋯,λn)Q−1AQ=diag(λ1,⋯,λn)证明:A至少存在一个特征值(且是实数)(|λE−A|=0|λE−A|=0,至少有n个根,包括重根。肯定有解λ1λ1。有解就表明零空间维度>0,存在非零的特征向量),所以至少存在相应的非零特征向量。之后用归纳法证明。
说明实对称矩阵一定可对角化实对称矩阵A有XTAX>0XTAX>0恒成立,则A是正定矩阵。其相合于对角元大于0的对角阵。
做坐标变换X=CYX=CY,得到二次型f=YT(CTAC)Yf=YT(CTAC)Y,不影响正定性。C是可逆矩阵
正定⟺⟺A的n个顺序主子式都大于0