【高等数学笔记】格林公式、高斯公式、斯托克斯公式、场论

一、格林公式

定理1（格林公式） 设平面有界闭区域$(\sigma )$由一条分段光滑的简单闭曲线所围成，$(\sigma )$的边界曲线记为$(C)$，函数$P,Q\in C^{(1)}((\sigma ))$，则$$\underset{(\sigma )}{\iint }\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\text{d}\sigma ={\oint }_{(+C)}P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y$$其中$(+C)$表示$(C)$为正向（一般指逆时针）。

二、平面线积分与路径无关的条件+无旋场、保守场、有势场

定理2 设区域$(\sigma )\subseteq {\mathbb{R}}^2$，$P,Q\in C((\sigma ))$，$A,B\in (\sigma )$，则下列三个命题等价：
(1) 沿$(\sigma )$内任一分段光滑的简单闭曲线$C$，均有$${\oint }_{(+C)}P\text{d}x+Q\text{d}y=0$$成立；
(2) 线积分$${\int }_{(A)}^{(B)}P\text{d}x+Q\text{d}y$$的值在$(\sigma )$内与积分路径无关；
(3) 被积表达式$P\text{d}x+Q\text{d}y$在$(\sigma )$内是某个二元函数$u(x,y)$的全微分。

环量：对于向量场$\mathbf{A}(M)=P\mathbf{i}+Q\mathbf{j}$，称沿闭曲线$(C)$的第二型线积分$${\oint }_{(C)}\mathbf{A}(M)\cdot \mathbf{d}\mathbf{s}$$为向量场$\mathbf{A}$沿闭曲线$(C)$的环量。

无旋场：沿$(\sigma )$内任一分段光滑的简单闭曲线$C$线积分均为零，即环量均为零
保守场：线积分${\int }_{(C)}\mathbf{A}(M)\cdot \mathbf{d}\mathbf{s}$的值与路径无关
有势场：存在$u(x,y)$使得$\text{d}u=P\text{d}x+Q\text{d}y$

定理2表明：无旋场、保守场、有势场相互等价

定理3 设$(\sigma )$为一平面单连通域，$P,Q\in C^{(1)}((\sigma ))$，则定理2中的三个命题成立的充要条件是$$\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv \frac{\partial P}{\partial y},(x,y)\in \sigma$$即四个条件等价。

三、高斯公式+散度

定理4（高斯公式） 设空间有界闭区域$(V)$由分片光滑的闭曲面$(S)$所围成，$\mathbf{A}(P(x,$