【高等数学笔记】二元函数连续、可微、偏导数存在、偏导数连续、任意方向导数存在的关系

一、连续，偏导数不一定存在

这个很容易理解，跟一元函数一样。
例如$f(x,y)=|x|$，在$(0,0)$连续，但$f_x(0,0)=\frac{\text{d}|x|}{\text{d}x}$不存在。
再例如，$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$，其在$(0,0)$点显然连续，但$$f_x(0,0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|x|}{x}$$不存在，$f_y(0,0)$同理也不存在。
用Geogebra画图可以看出这个函数的图像是锥形，在$(0,0)$点是尖的：

二、偏导数存在，不一定连续

这个性质跟一元函数有很大差异。对于二元函数，偏导数存在是很弱的条件，甚至连极限都有可能不存在。
例子：$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2},& x^2+y^2\ne 0\\ 0,& x^2+y^2=0\end{array}$$它在$(0,0)$点的两个偏导数都存在：$$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$$但是它在$(0,0)$点的极限不存在，以$y=kx$的路径逼近$(0,0)$得$$\underset{x\to 0,y=kx}{\lim }\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{k}{1+k^2}$$随着$k$的变化而变化，所以$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)$$不存在。
画图看出这个函数在$(0,0)$点呈现一个很奇怪的样子：

三、可微，一定连续、偏导数存在

定理1（可微的必要条件） 设函数$z=f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处可微，则
(1) $f$在$(x_0,y_0)$处连续；
(2) $f$在$(x_0,y_0)$处的两个偏导数都存在，且有$\text{d}f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\text{d}x+f_y(x_0,y_0)\text{d}y$。
证明：
(1) 当$f$在$(x_0,y_0)$处可微时，存在常数$a_1,a_2$使得$\Delta z=a_1\Delta x+a_2\Delta y+o(\rho )$，其中$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$。令$\rho \to 0$，即$\Delta x\to 0$且$\Delta y\to 0$，得$$\underset{\rho \to 0}{\lim }\Delta z=0$$或$$\underset{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}{\lim }f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)=\underset{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}{\lim }[f(x_0,y_0)+\Delta z]=f(x_0,y_0$$