【高等数学笔记】常数项级数的敛散性

一、常数项级数的概念、性质与收敛原理

定义 通常将已给数列 { a n } \{a_n\} { an​}的各项依次用加号连接起来的表达式$a_1+a_2+\cdots +a_n+\cdots$，或$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$称为常数项无穷级数，简称为常数项级数或级数，$a_n$称为该级数的通项。其前$n$项之和$S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$称为它的部分和。若部分和数列 { S n } \{S_n\} { Sn​}收敛，则称级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$收敛，并称$S=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n{a}_k$为它的和，记作$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=S$；否则，称级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$发散。级数的收敛和发散统称为敛散性。收敛级数的和与其部分和之差$R_n=S-S_n=\sum _{k=n+1}^{\infty }{a}_k$称为该级数的余项。

等比级数 $\sum _{n=0}^{\infty }a{q}^n=a+aq+a{q}^2+\cdots +a{q}^{n-1}+\cdots (a\ne 0)$在$|q|<1$时收敛于$\frac{a}{1-q}$，在$|q|\ge 1$时发散。注意$S_n=a+aq+a{q}^2+\cdots +a{q}^{n-1}=\{\begin{array}{ll}\frac{a(1-a^n)}{1-q},& q\ne 1\\ na,& q=1\end{array}$。

⭐️ 级数的基本性质

性质1 设$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=S_a$，$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n=S_b$，其中$S_a,S_b$均为有限实数，则
(1) $\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\pm b_n)=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\pm \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n=S_a\pm S_b$；
(2) $\sum _{n=1}^{\infty }C{a}_n=C\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=C{S}_a$，其中$C\in \mathbb{R}$为常数；
(3) 若$a_n\le b_n$，则$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\le \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n$。

证明： 令$S_{n_a}=\sum _{k=1}^n{a}_k$，$S_{n_b}=\sum _{k=1}^n{b}_k$。
(1) 有限项之和满足加法交换律，故$\sum _{k=1}^n(a_k\pm b_k)=\sum _{k=1}^n{a}_k\pm \sum _{k=1}^n{b}_k$，$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n(a_k\pm b_k)=\underset{n\to \infty }{\lim }(\sum _{k=1}^n{a}_k\pm \sum _{k=1}^n{b}_k)=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{n_a}\pm \underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{n_b}=S_a\pm S_b$。
(2) $\sum _{k=1}^{n}C{a}_k=C\sum _{k=1}^n{a}_k$，故$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^{n}C{a}_k=\underset{n\to \infty }{\lim }C{S}_{n_a}=C\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{n_a}=C{S}_a$。
(3) 若$a_n\le b_n$，则$S_{n_a}\le S_{n_b}$。根据数列极限的保序性，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{n_a}\le \underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{n_b}$，即$S_a\le S_b$。

性质2 在一个级数中，任意删去、添加或改变有限项不改变该级数的敛散性。

证明：设原级数为$\sum _{n=1}^{\infty }a$