【高等数学笔记】拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Method）：其实也没那么难嘛

一、以二元函数引入

假设有一个二元函数$z=f(x,y)$，现在我们要求它在满足条件$\varphi (x,y)=0$条件下的极值。

举个例子，求双曲线$xy=2$上到点$(5,3)$最近的点。在这个问题当中，我们要求的就是距离函数$z=f(x,y)=(x-5{)}^2+(y-3{)}^2$的极值（同时也是最值），而约束条件则是$\varphi (x,y)=xy-2=0$。

对于这个例子，我们完全可以把它化为一元函数极值/最值的问题。令$y=\frac{2}{x}$，则$z=f(x,y)=z(x)=(x-5{)}^2+{\left(\frac{2}{x}-3\right)}^2$，然后对$z(x)$求导数为$0$的点即可。

但并非所有的问题都能找到$y$与$x$的函数关系，此时隐函数$\varphi (x,y)=0$不能显化，不能直接代得到$y$的表达式。比如像$e^{x}y+y\arctan x=0$这种奇怪的函数，$y$对$x$的表达式根本写不出来。虽然这种$\varphi (x,y)=0$不能显化，但我们仍然可以把$y$与$x$的关系设出来：$y=y(x)$，假装可以得到$y$关于$x$的表达式。那么$z=f(x,y)=f(x,y(x))$是$x$的一元函数，在$\frac{\text{d}z}{\text{d}x}=0$时可能取得极值。假设$f$对$x$的偏导数为$f_x$，对$y$的偏导数为$f_y$。由求导的链式法则得到$$\frac{\text{d}z}{\text{d}x}=\frac{\text{d}[f(x,y(x))]}{\text{d}x}=f_x+f_y\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$$那么式子里面的$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$，也就是$y$对$x$的导数等于多少呢？虽说是隐函数，导数仍然是可以求出来的。在$\varphi (x,y)=0$两端取微分，得到${\varphi }_x\text{d}x+{\varphi }_y\text{d}y=0$，其中${\varphi }_x$是$\varphi$对$x$的偏导数，${\varphi }_y$是