【线性代数笔记】正交矩阵的性质

定义 设$n$阶矩阵$A$满足$A{A}^T=A^{T}A=I$，则称$A$为正交矩阵。

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定理1 设$A$，$B$是同阶正交矩阵，则：
(1) $\det (A)=\pm 1$；
(2) $A^T,A^{-1},A^{\ast }$均为正交矩阵；
(3) $AB$为正交矩阵。

定理2 实方阵$A$为正交矩阵$⟺$$A$的列/行向量组为标准正交向量组。

证明提要：将$A$按列分块，考察$A^{T}A=I$即可。

定理3（正交变换的保范性） 设$A$为正交矩阵，则$\forall {\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2\in R^n$，有：
(1) $⟨A{\mathbf{x}}_1,A{\mathbf{x}}_2⟩=⟨{\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2⟩$；
(2) $\Vert A{\mathbf{x}}_1\Vert =\Vert {\mathbf{x}}_1\Vert$。

证明：
(1) $⟨A{\mathbf{x}}_1,A{\mathbf{x}}_2⟩=(A{\mathbf{x}}_1{)}^T(A{\mathbf{x}}_2)={\mathbf{x}}_1^T{A}^{T}A{\mathbf{x}}_2={\mathbf{x}}_1^T{\mathbf{x}}_2=⟨{\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2⟩$。
(2) 由(1)及$\Vert \mathbf{\alpha }\Vert =⟨\mathbf{\alpha },\mathbf{\alpha }⟩$即得。

定理4 设$A$为正交矩阵，则$A$的特征值只能为$\pm 1$。

证明：设$A$由特征值$\lambda$，对应的特征向量为$\mathbf{\alpha }$，则$A\mathbf{\alpha }=\lambda \mathbf{\alpha }$。根据正交矩阵的定义，$A^{T}A=I$，即${\mathbf{\alpha }}^T{A}^{T}A\mathbf{\alpha }={\mathbf{\alpha }}^T\mathbf{\alpha }$，或$(A\mathbf{\alpha }{)}^T(A\mathbf{\alpha })={\mathbf{\alpha }}^T\mathbf{\alpha }$，代入$A\mathbf{\alpha }=\lambda \mathbf{\alpha }$得$(\lambda \mathbf{\alpha }{)}^T(\lambda \mathbf{\alpha })={\mathbf{\alpha }}^T\mathbf{\alpha }$，即${\lambda }^2{\mathbf{\alpha }}^T\mathbf{\alpha }={\mathbf{\alpha }}^T\mathbf{\alpha }$，而${\mathbf{\alpha }}^T\mathbf{\alpha }$是非零数，故${\lambda }^2=1$，即$\lambda =\pm 1$。

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定义 实对称矩阵是指元素为实数的对称矩阵。

定理5 设$A$为$n$阶实对称矩阵，则一定存在$n$阶正交矩阵$P$使得$P^{-1}AP=\text{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)。$
证明过于繁琐，从略。
该定理表明：实对称矩阵一定可以相似对角化，并且相似变换矩阵为正交矩阵。结合相似变换矩阵是特征向量组成的事实，我们知道实对称矩阵存在一组正交的特征向量。

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同时，正交矩阵也是沟通合同和相似的桥梁。对于一个二次型的矩阵$A$来说，由于它是实对称矩阵，故$\exists$正交矩阵$C$使得$C^{-1}AC=\Lambda$，其中$\Lambda$是对角矩阵。同时$C^{-1}=C^T$，故$C^{T}AC=\Lambda$，因此$A$也与$\Lambda$合同。对于非实对称矩阵则不一定具有这样的性质。