【高等数学笔记】两类曲线积分、曲面积分的转化

整体思想：局部均匀化，用很小的长度/面积元上一点某个量的数值来代替整个元的数值。

一、曲线积分

（一）弧长的计算公式

设曲线$\Gamma$的参数方程为$x=x(t),y=y(t),z=z(t)$。令$\mathbf{r}=(x,y,z)$，则方程为$\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$。

定理1 设在$[\alpha ,\beta ]$上$\dot{\mathbf{r}}(t)$连续且$\dot{\mathbf{r}}(t)\ne 0$，则曲线$\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)(\alpha \le t\le \beta )$是可求长的曲线，且$\Gamma$的长度为$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\Vert \dot{\mathbf{r}}(t)\Vert \text{d}t$$

证明提要：在$\Gamma$上取$n-1$个点$P_i$，令$B=P_n$，$P_i$对应$t_i$，$t_0=\alpha$，$t_n=\beta$。则$$s_n=\sum _{i=1}^n\Vert \overrightarrow{P_{i-1}{P}_i}\Vert$$而根据拉格朗日中值定理$\Vert \overrightarrow{P_{i-1}{P}_i}\Vert =\sqrt{[\dot{x}({\xi }_i){]}^2+[\dot{y}({\eta }_i){]}^2+[\dot{z}({\zeta }_i){]}^2}\Delta t_i\approx \Vert \dot{\mathbf{r}}(t_{\xi })\Vert \Delta t_i$，故$$s_n=\sum _{i=1}^n\Vert \overrightarrow{P_{i-1}{P}_i}\Vert =\sum _{i=1}^n\Vert \dot{\mathbf{r}}(t_{\xi })\Vert \Delta t_i={\int }_{\alpha }^{\beta }\Vert \dot{\mathbf{r}}(t)\Vert \text{d}t$$

（二）第一型曲线积分

定义：${\int }_{(C)}f(x,y,z)\text{d}s=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)\Delta s_k$，其中$d$是分点间距离的最大值。

第一型线积分的计算公式：${\int }_{(C)}f(x,y,z)\text{d}s={\int }_{\alpha }^{\beta }f[x(t),y(t),z(t)]\sqrt{\dot{x}(t{)}^2+\dot{y}(t{)}^2+\dot{z}(t{)}^2}\text{d}t=\int$