多元函数积分学

目录

一、二重积分

（1）二重积分的计算 

（1）二重积分的对称性

（2）华里士公式

二、三重积分

（1）直角坐标系下的计算：

（2）柱坐标系下的计算：

（3）球坐标系下的计算：

（4）三重积分的对称性：

（5）重积分的换元法：

三、曲线积分

（1）第一型曲线积分

 （2）第二型曲线积分

（3）一二型曲线积分关系

四、曲面积分

（1）第一型曲面积分

（2）第二型曲面积分

 （3）一二型曲面积分的关系

1、一二型曲面积分间的转化：

五、格林公式

 六、高斯公式

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一、二重积分

（1）二重积分的计算 

1、极坐标法计算

极坐标法即为换元法的一种情况，其中x=rcosa，y=rcosa，此处的r为极径，而不是原来直接坐标系圆中的半径r，所以化为极坐标系始终有x^2+y^2=r^2

当二重积分的区域d为圆时且被积函数也为圆时，则区域d的4个像限内积分的结果一致，可以进行化简计算，即左区域面积为右区域的4倍

（1）二重积分的对称性

（2）华里士公式

 

二、三重积分

（1）直角坐标系下的计算：

1、穿针法（先一后二，那么先求出z的上下限（不能含z），将被积函数对z积分后，则转为对二重积分的计算）

做法：沿平行z轴正方向穿针，穿入为下限z1，穿出为上限z2，投影到xoy面上，将z转为x与y后，计算投影在xoy面的二重积分（沿y轴或z轴同理）

理解：将物体分解为无数个大小质量不一的针（先一后二）

2、截面法（先把对应的单变量与其的积分提至左侧，之后求出面积且面积式子只能由单变量来表达，则转为对定积分的计算）

使用范围：适用于被积函数只有一个变量且截面面积很好求的情况（求的面积不是像穿针法那样投影的那个面，而是要适用于每一个截面）

做法：先确定被积变量的取值范围，后固定z（这样才将截面里的x，y用z表示），求每个截面的面积表达式

例如：积分区域为第一卦限的x^(2)+y^(2)+z^(2)=1，则每一片截面都有符合S=πr^2/4,又因为此时的r^2=x^2+y^2=z^2-1（此时的r对应的x与y在球面上，所以可以用x^2+y^2+z^2=1进行代换，这样求出来的截面才是对应的截面）,即完成把面积用z来表示

理解：将物体分解为无数个大小质量不一的面（先二后一）

例1（求三角形面积时，求边长时要到对应的平面内去求，此时就要根据特定的直线的方程式来求）

（2）柱坐标系下的计算：

使用范围：投影为圆的一部分，被积函数有f（x^2+y^2）形式

做法：穿针法的基础上，将z变为r与而不是x与y，将dxdydz=rddrdz

（穿针法，先一后二，先积z）

（3）球坐标系下的计算：

使用范围：积分区域为球/锥面，或被积函数为f（x^2+y^2+z^2）形式

三个参数：x=rcossin,y=rsin