9、基因组映射相关问题的理论与实践探索

基因组映射相关问题的理论与实践探索

1 同线性距离的下界

当许多元素出现在多个集合中时，同线性距离存在一个下界。若在紧凑表示中，许多基因出现在多个染色体中，这意味着在非紧凑表示里，基因组 G1 中的许多染色体 c 上的基因会出现在基因组 G2 的多个染色体中。这种情况的出现是因为许多进化事件将 G1 中的染色体 c“分散”到了 G2 中。若多个染色体 c 都出现这种情况，那么多个染色体必然发生了许多事件，所以基因组之间的距离必然很大。

为证明这个下界，需要引入线性同线性问题，它是同线性问题的一种受限形式，其移动序列有如下约束：
- 前 k - 1 次移动必须是融合或严格受限的易位。初始时指定一个输入集为合并集，每次移动将当前合并集 ∆ 和一个未使用的输入集 S 作为输入，生成新的合并集 ∆′。若某个元素 a 仅存在于 ∆ 和 S 中，则进行易位操作 (∆, S) → (∆′, {a})，其中 ∆′ = (∆ ∪ S) - {a}；若不存在这样的元素 a，则直接将两个集合融合：(∆, S) → ∆′，其中 ∆′ = ∆ ∪ S。
- 经过 k - 1 次融合和易位后，若 ∆ 为合并集，接下来的 |∆| - 1 次移动每次将一个单元素集 {a} 分裂出来，生成新的合并集 ∆′ = ∆ - {a}。

设 eD(S(n, k)) 为最优线性移动序列的长度。若线性移动序列在前 k - 1 次移动中进行了 m1 次融合，则包含 k - m1 - 1 次易位。完成 k - 1 次融合和易位后，合并集中还剩下 n - k + m1 + 1 个元素，因为每次易位会消除一个元素。所以，需要进行 n - k + m1 次分裂来消除剩余元素。因此，线性移动序列的长度为 n + m1