8、贝叶斯推理方法详解

贝叶斯推理方法详解

1. 引言

在统计推断领域，存在多种范式，其中频率主义和贝叶斯主义是最为主要的两种。贝叶斯主义得名于托马斯·贝叶斯牧师，他在1763年发表的论文为这种推断方法奠定了基础。

贝叶斯范式将统计模型中不可观测的参数视为随机变量。在收集数据之前，我们会通过先验分布来量化对这些参数的了解，这些信息可能来自专家意见、理论考量或以往的类似实验。当数据可用时，贝叶斯定理会将先验分布更新为后验分布，后验分布是包含了观测数据的条件分布。

贝叶斯规则用于更新事件的概率，而贝叶斯定理则用于更新模型参数的先验分布。其优势显著，一方面通过概率分布表达不确定性，使统计推断可自动化，遵循贝叶斯定理这一概念简单的规则；另一方面能将可用的先验信息连贯地融入描述数据的统计模型中。

在临床试验设计与分析中，贝叶斯方法得到了推荐，原因如下：
- 医疗器械往往有有价值的先验信息。
- 正确使用时，贝叶斯方法可能比频率主义方法负担更小。
- 利用先验信息可减少试验规模。
- 能进行精确分析，而对应频率主义分析可能只是近似或难以实施。
- 处理多重性问题的方式不同且可能更具优势。
- 处理缺失数据时具有很大灵活性。
- 在序贯抽样时，对累积数据的无限制查看不影响推断，而频率主义方法中，中期数据分析会影响一类错误。

2. 贝叶斯推断的要素

2.1 模型与似然

一个依赖未知参数 $\theta$ 的典型观测值 $X$ 的密度函数称为模型，记为 $f(x|\theta)$。作为 $\theta$ 的函数，$f(x|\theta)$ 也被称为似然，记为 $L(