33、商幺半群中的并发建模：规范表示与关系表示

商幺半群中的并发建模：规范表示与关系表示

1. 规范表示的基础概念

在并发理论中，不同类型的幺半群有着各自的规范表示，这直观上对应着并发历史的最大并发执行。

首先介绍一些基本概念。设 $(E, ind)$ 为并发字母表，$(E^ / ≡, \hat{\circ}, [\lambda])$ 为Mazurkiewicz迹的幺半群。若序列 $x = a_1…a_k \in E^ $ 满足对于所有 $i \neq j$ 且 $i, j = 1, …, k$，都有 $(a_i, a_j) \in ind$，则称 $x$ 为完全可交换的。若序列 $x \in E^*$ 满足 $x = \lambda$ 或者 $x = x_1…x_n$，其中每个 $x_i$ 都是完全可交换的，并且对于 $1 \leq i \leq n - 1$ 以及 $x_{i + 1}$ 中的每个元素 $a$，都存在 $x_i$ 中的元素 $b$ 使得 $a \neq b$ 且 $(a, b) \notin ind$，则称 $x$ 处于规范形式。若 $x$ 处于规范形式，那么 $x$ 就是 $[x]$ 的规范表示。

定理1表明，对于每个迹 $t \in E^ /≡$，都存在 $x \in E^ $ 使得 $t = [x]$ 且 $x$ 处于规范形式。然而，按照上述定义的规范形式，一个迹可能有多个规范表示。例如，迹 $t_3 = [abcbca]$ 有四个规范表示：$abcbca$、$acbbca$、$abccba$、$acbcba$。为了获得唯一性，可以对完全可交换序列进行排序。引入任意的全序到 $E$ 上，并将其字典序扩展到 $E^*$，同时添加条件：在表示 $x = x_1…