32、商幺半群并发建模：从基础到扩展

商幺半群并发建模：从基础到扩展

在并发系统的建模中，商幺半群是一种强大的工具，它能够帮助我们描述和分析并发事件之间的关系。下面将详细介绍几种不同类型的商幺半群及其应用。

1. 等式幺半群与Mazurkiewicz迹

首先，我们从等式幺半群开始。设 $M = (X, ◦, 1)$ 是一个幺半群，$EQ = { x_1 = y_1, …, x_n = y_n }$ 是一个有限的等式集合，其中 $x_i, y_i \in X$。我们定义 $\equiv_{EQ}$（或简记为 $\equiv$）为 $M$ 上满足 $x_i = y_i \Rightarrow x_i \equiv_{EQ} y_i$ 的最小同余关系，这个关系被称为由 $EQ$ 定义的同余关系，或 $EQ$ - 同余关系。商幺半群 $M_{\equiv} = (X/{\equiv}, \hat{◦}, [1]_{\equiv})$，其中 $[x] \hat{◦} [y] = [x ◦ y]$，被称为等式幺半群。

对于等式幺半群，$EQ$ - 同余关系 $\equiv$ 可以明确地定义为关系 $\approx \cup \approx^{-1}$ 的自反和传递闭包，即 $\equiv = (\approx \cup \approx^{-1})^*$，其中 $\approx \subseteq X \times X$，且 $x \approx y \Leftrightarrow \exists x_1, x_2 \in X. \exists (u = w) \in EQ. x = x_1 ◦ u ◦ x_2 \land y = x_1 ◦ v ◦ x_2$。

如果 $M = (E^ , ◦, \l