56、图论与多边形守卫问题的复杂性研究

图论与多边形守卫问题的复杂性研究

在计算机科学和图论领域，有两类重要的问题备受关注：边不相交路径问题和多边形守卫问题。下面我们将深入探讨这两类问题的复杂性以及相关的研究成果。

边不相交路径问题

边不相交路径问题在图论中是一个经典问题，它研究的是在给定图中找到连接终端对的边不相交路径。对于部分(k) - 树，该问题被证明是NP完全的。这意味着在这类图中，找到满足条件的边不相交路径是一个非常困难的问题，除非(P = NP)，否则不存在多项式时间算法来解决它。

具体来说，研究表明对于部分3 - 树，边不相交路径问题是NP完全的。通过构造具有有界路径宽度的图(G_f)，可以推断出对于有界路径宽度的图类，边不相交路径问题同样是NP完全的，进而最大边不相交路径问题在该图类中是NP难的。需要注意的是，之前某些归约构造的图具有无界路径宽度。

此外，周等人证明了一个事实：如果通过向部分(k) - 树(G)添加(p)条边((s_i, t_i))（(1 \leq i \leq p)）得到的增强图(G^+)仍然是部分(k) - 树，那么边不相交路径问题可以在多项式时间内解决。而本文的结果与该事实并不冲突，因为(G_f)的增强图(G_f^+)并不总是具有有界(k)的部分(k) - 树。

目前，已经有一些关于部分(k) - 树可处理问题类的研究，这些问题可以用一元二阶逻辑来刻画。然而，对于包括边不相交路径问题、子图同构问题和带宽问题在内的难解问题类的刻画仍然是一个开放的研究方向。

多边形守卫问题

多边形守卫问题是艺术画廊问题的一个变体，它主要研究在给定多边形中放置最少数量的守卫，使得多边形内部或边界的每个点都能被至少一个守卫